Ҷои №1 барои рекламаи шумо!

Барои робита: oftob.com@gmail.com

Мавод дар асоси китоби "Геометрия"-и математик А.В. Погорелов тартиб дода шудааст.

Саволи 1. Хосиятҳои масоҳати шаклҳои соддаро баён кунед.
Ҷавоб. Таърифи масоҳат барои шаклҳои содда:
Масоҳат ин бузургии мусбатест, ки қимати ададиаш ба хосиятҳои зерин соҳиб аст:
1) Шаклҳои баробар масоҳатҳои баробар доранд.
2) Агар шакл ба қисмҳое, ки онҳо шаклҳои содда мебошанд, тақсим карда шавад, он гоҳ масоҳати ин шакл ба ҳосили ҷамъи масоҳати қисмҳои он баробар аст.
3) Масоҳати квадрате, ки тарафаш ба воҳиди ченкунӣ баробар аст, ба воҳид баробар мебошад.

Саволи 2. Исбот кунед: масоҳати росткунҷа ба ҳосили зарби тарафҳои он баробар аст.
Ҷавоб. Масоҳати росткунҷа тарафҳояш \(a\) ва \(b\)-ро меёбем. Барои ин аввал исбот мекунем, ки масоҳати ду росткунҷаи асосҳояшон баробар чун баландиҳояшон нисбат доранд.

Бигзор \(ABCD\) ва \(AB_1C_1D\) ду росткунҷаи асосашон умумии \(AD\) мебошанд. (расми 296. а) Фарз мекунем, ки \(S\) ва \(S_1\) масоҳати онҳо мебошад. Исбот мекунем, ки \(\frac{S}{S_1} = \frac{AB}{AB_1}\). Тарафи \(AB\)-и росткунҷаро ба \(n\) қисмҳои баробари шумораашон зиёд, ки ҳар кадомашон ба \(\frac{AB}{n}\) баробар аст, тақсим менамоем. Бигзор \(m\) шумораи нуқтаҳои тақсимот, ки дар тарафи \(AB_1\) воқеанд, бошад. Он гоҳ

\[\frac{AB}{n}m \leq AB_1 \leq \frac{AB}{n}(m+1).\]

Ин ифодаро ба \(AB\) тақсим менамоем:

\[\frac{m}{n} \leq \frac{AB_1}{AB} \leq \frac{m}{n} + \frac{1}{n}. \qquad (*)\]

Аз нуқтаҳои тақсимот хатҳои рости ба асос \(AD\) параллелро мегузаронем. Ин хатҳои рост роскунҷаи \(ABCD\)-ро ба \(n\)-то росткунҷаҳои баробар тақсим мекунанд. Масоҳати ҳар яки онҳо ба \(\frac{S}{n}\) баробар аст. Росткунҷаи \(AB_1C_1D\) \(m\)-то росткунҷаҳо дорад (аз поён ҳисобида мешавад) ва дарбари \(m+1\)-то росткунҷаҳо мебошад. Бинобар ин

\[\frac{S}{n}m \leq S_1 \leq \frac{S}{n}(m+1).\]

Аз ин ҷо

\[\frac{m}{n} \leq \frac{S_1}{S} \leq \frac{m}{n} + \frac{1}{n}. \qquad (**)\]

Аз нобаробариҳои (*) ва (**) мебинем, ки ададҳои \(\frac{AB_1}{AB}\) ва \(\frac{S_1}{S}\) дар байни \(\frac{m}{n}\) ва \(\frac{m}{n}+\frac{1}{n}\) воқеанд. Бинобар ин онҳо ба  \(\frac{1}{n}\) тафовут доранд. Фақат дар мавриди \(\frac{S_1}{S} = \frac{AB_1}{AB}\) будан \(n\)-ро ҳар чи зиёд гирифтан мумкин аст. Ҳаминро исбот кардан лозим буд.

Акнун квадрат, ки воҳиди масоҳат мебошад, росткунҷаи тарафҳояш \(1, a\) ва росткунҷаи тарафҳояш \(a, b\)-ро мегирем (расми 296, б). Масоҳати онҳоро муқоиса карда, мувофиқи исбот чунин ифодаҳоро ҳосил менамоем:

\[\frac{S'}{1} = \frac{a}{1}, \qquad \frac{S}{S_1} = \frac{b}{1}.\]

Ин баробариҳоро аъзо ба аъзо зарб мекунем:

Инак, масоҳати росткунҷаи тарафҳояш \(а, b\) аз формулаи \(S=a \cdot b\) ҳисоб карда мешавад.

Саволи 3. Исбот кунед: масоҳати параллелограмм ба ҳосили зарби тарафҳои он бар баландие, ки ба ин тараф гузаронида шудааст, баробар мебошад.
Ҷавоб. Бигзор \(ABCD\) параллелограмм бошад. Агар он росткунҷа набошад, онгоҳ яке аз кунҷҳояш, \(A\) ё \(B\), кунҷи тез мешавад. Фарз мекунем, ки чунон ки дар расми 297 ҳам тасвир шудааст, барои муайянӣ кунҷи \(А\) кунҷи тез аст.

Аз қуллаи \(А\) ба хати рости \(СD\) перпендикуляри \(AE\) мефурорем. Масоҳати трапетсия \(ABCE\) ба ҳосили ҷамъи масоҳати параллелограмми \(ABCD\) ва секунҷаи \(ADE\) баробар аст.

Аз қуллаи \(B\) ба хати рости \(CD\) перпендикуляри \(BF\) мефурорем. Он гоҳ масоҳати трапетсия \(ABCE\) ба ҳосили ҷамъи масоҳатҳои росткунҷаи \(ABFE\) ва секунҷаи \(BCF\) баробар аст.

Секунҷаҳои росткунҷаи \(ADE\) ва \(BCF\) баробаранд, пас онҳо масоҳатҳои баробар доранд. Аз ин ҷо натиҷа мебарояд, ки масоҳати параллелограмми \(ABCD\) ба масоҳати росткунҷаи \(ABFE\), яъне \(AB \cdot BF\) баробар аст.

Порчаи \(BF\) баландии параллелограмм номида мешавад (ки он ба тарафҳои \(AB\) ва \(СD\) мувофиқ аст).

Инак, масоҳати параллелограмм ба ҳосили зарби тарафҳои он бар баландие, ки ба ин тараф гузаронида шудааст, баробар мебошад.

Саволи 4. Исбот кунед: масоҳати секунҷа ба ними ҳосили зарби тарафи он дар баландие, ки ба ин тараф гузаронида шудааст, баробар мебошад.
Ҷавоб. Бигзор \(ABC\) секунҷаи додашуда бошад (расми 298). Чунон, ки дар расм нишон дода шудааст, ки секунҷаро то параллелорамми \(ABCD\) пурра мекунем. Масоҳати параллелограмм ба ҳосили ҷамъи масоҳатҳои секунҷаҳои \(ABC\) ва \(CDA\) баробар аст. Азбаски ин секунҷаҳо баробаранд, пас масоҳати параллелограмм ба дучандаи масоҳати секунҷаи \(ABC\) баробар аст. Баландии параллелограмм, ки ба тарафи \(AB\) мувофиқ аст, ба баландии секунҷаи \(ABC\), ки ба тарафи \(AB\) гузаронида шудааст, бинобар мебошад.

Аз ин ҷо натиҷа мебарояд, ки масоҳати секунҷа ба ними ҳосили зарби тарафаш ба баландие, ки ба ин тараф гузаронида шудааст, бинобар мебошад:

\[S = \frac{1}{2}ah.\]

Саволи 5. Исбот кунед: масоҳати секунҷа ба ними ҳосили зарби ду тарафи дилхоҳи он бар синуси кунҷи байни онҳо баробар аст.
Ҷавоб. Акнун исбот мекунем, ки масоҳати мекунҷа ба ними ҳосили зарби ду тарафи дилхоҳи он бар синуси кунҷи байни онҳо баробар аст.

Бигзор ABC секунҷаи додашуда бошад (расми 299). Исбот мекунем, ки

\[S = \frac{1}{2} AB \cdot AC \cdot \sin ⁡A.\]

Дар секунҷаи \(ABC\) баландии \(BD\)-ро мегузаронем. Чунин формула ҳосил мешавад:

\[S = \frac{1}{2} AC \cdot BD.\]

Аз секунҷаи росткунҷаи \(ABD\) \(BD = AB\cdot\sin\alpha\), агар кунҷи \(\alpha\) кунҷи тез бошад (расми 299, а), \(BD = AB \sin (180^\circ - \alpha)\), агар кунҷи \(\alpha\) кунҷи кунд бошад (расми 299, б). Азбаски \(\sin (180^\circ - \alpha) = \sin\alpha\)  аст, пас дар мавриди дилхоҳ \(BD = AB\cdot\sin\alpha\). Пас, масоҳати секунҷа \(S = \frac{1}{2} AC\cdot AB\cdot \sin ⁡A\). Ҳаминро исбот кардан лозим буд.

Саволи 6. Исбот кунед: масоҳати трапетсия ба ҳосили зарби ними ҳосили ҷамъи асосҳо ба баландӣ баробар аст.
Ҷавоб. Бигзор \(ABCD\) трапетсияи додашуда бошад (расми 300). Диагонали трапетсия \(AC\) онро ба ду секунҷаҳои \(ABC\)  ва \(CDA\) тақсим мекунад. Пас, масоҳати трапетсия ба ҳосили ҷамъи масоҳати ин секунҷаҳо барбор аст. Масоҳати секунҷаи масоҳати ин секунҷаҳо баробар аст. Масоҳати секунҷаи \(ABC\) ба \(\frac{1}{2} DC \cdot AF\) баробар аст. Баландиҳои \(CE\) ва \(A\)-ин секунҷаҳо ба масофаи байни хатҳои рости параллели \(AB\) ва \(CD\) баробар аст. Ин масофа баландии трапетсия номида мешавад.

Масоҳати трапетсия ба ҳосили зарби ними ҳосили ҷамъи асосҳояш бар баландӣ баробар аст:

\[S = \frac{a+b}{2}\cdot h.\]

Саволи 7. Масоҳати шаклҳои монанд чӣ гуна нисбат доранд?
Ҷавоб. Масоҳати ин шаклҳо чӣ тавр нисбат доранд? Инро аниқ мекунем. Азбаски шаклҳо монандианд, пас табдилдиҳии монандие, ҳаст, ки дар он шакли \(F'\) ба шакли \(F''\) табдил мешавад.

Шакли \(F'\)-ро ба секунҷаҳои \(\Delta '_1, \Delta '_2, \Delta '_3, …\) тақсим мекунем. (Расми 1). Табдилдиҳии монандие, ки шакли \(F'\)-ро ба \(F''\) табдил медиҳад, ин секунҷаҳоро ба секунҷаҳои \(\Delta ''_1, \Delta ''_2, \Delta ''_3, …\)-и тақсимшудаи шакли \(F''\) табдил медиҳад. Масоҳати шакли \(F'\) ба ҳосили ҷамъи масоҳатҳои секунҷаҳои \(\Delta '_1, \Delta '_2, \Delta '_3, …\) баробар аст. Масоҳати шакли \(F''\) ба ҳосили ҷамъи масоҳати секунҷаҳои \(\Delta ''_1, \Delta ''_2, \Delta ''_3, …\) баробар аст.

Агар коэффисиенти монандӣ ба \(k\) баробар бошад, он гоҳ андозаҳои секунҷаи \(\Delta ''_n\) аз андозаҳои мувофиқи секунҷаи \(\Delta '_n\) \(k\) маротиба калон мешавад. Аз ҷумла, тарафҳо ва баландии секунҷа \(\Delta ''_n\) аз тарафҳо ва баландии мувофиқи секунҷаи \(\Delta '_n\) \(k\) маротиба калон аст. Аз ин ҷо натиҷа мебарояд, ки

\[S(\Delta '' _n) = k^2 S(\Delta '_n).\]

Ин баробариҳоро аъзо ба аъзо ҷамъ карда

\[S(F'') = k^2 S(F')\]

-ро ҳосил мекунем.

Коэффисиенти монандӣ \(k\) ба нисбати андозаҳои хаттии мувофиқи шаклҳои \(F''\) ва \(F'\) баробар аст. Бинобар ин масоҳати шаклҳои монанд чун квадрати андозаҳои хаттии мувофиқи онҳо нисбат доранд.

Саволи 8. Формулаи масоҳати доираро ҳосил кунед.
Ҷавоб. Масоҳати доира ба нисфи ҳосили зарби дарозии давраи маҳдудгирифтаи он бар радиус баробар аст.

Инро исбот мекунем. Дуто -кунҷаҳои мунтазам месозем: \(P_1\) - бисёркунҷаи дарун кашидашудаи доира ва \(P_2\) - бисёркунҷаи берун кашидашудаи доира (расми 305). Бисёркунҷаҳои \(P_1\) ва \(P_2\) шаклҳои содда мебошанд. Бисёркунҷаи \(P_2\) доираро дарбар дорад ва бисёркунҷаи \(P_1\) дарбари доира мебошад.

Радиусҳое, ки ба қуллаҳои бисёркунҷаи \(P_1\) гузаронидашудаанд, бисёркунҷаро ба \(n\)-то секунҷаҳои ҳар кадомаш ба секунҷаи \(AOD\) баробар тақсим мекунем. Бинобар ин

\[S_{P_1} = nS_{AOD}.\]

Азбаски \(S_{AOD} = AC \cdot OC = AC \cdot AO \cdot \cos\alpha\) аст, пас

\[S_{P_1} = (nAC)AO\cos\alpha = \frac{pR}{2}\cos\alpha,\]

дар ин ҷо р - периметри бисёркунҷаи \(P_1\) ва \(R\) - радиуси доира. Масоҳати бисёркунҷаи \(P_2\) ҳамин тавр ёфта мешавад:

\[S_{P_2} = nS_{BOF},\]

\[S_{BOF} = AB \cdot AO = \frac{AC}{\cos\alpha} \cdot AO,\]

\[S_{P_2} = \frac{(nAC)AO}{\cos\alpha} = \frac{pR}{2 \cos\alpha}.\]

Инак, масоҳати бисёркунҷаи \(P_1\), ки дарбари доира мебошад:

\[S_{P_1} = \frac{pR}{2}\cos\alpha, \]

масоҳати бисёркунҷаи \(P_2\), ки доираро дарбар дорад:

\[S_{P_2} = \frac{pR}{2\cos\alpha }. \]

Ҳангоми ба қадри кифоя калон будани \(n\) периметр \(p\) аз дарозии давра \(l\) ҳар чӣ қадар кам фарқ мекунад ва \(\cos\alpha\) аз 1 ҳар чи қадар кам фарқ мекунад, пас бисёркунҷаҳои \(P_1\) ва \(P_2\) аз \(\frac{lR}{2}\) ҳар чӣ қадар кам фарқ мекунад. Мувофиқи таъриф ин чунин маъно дорад, ки  масоҳати доира

\[S = \frac{lR}{2} = \pi R^2,\]

ки ҳаминро исбот кардан лозим буд.

Саволи 9. Масоҳати сектори доиравӣ ва сегменти доиравӣ бо кадом формулаҳо ҳисоб карда мешавад?
Ҷавоб. Масоҳати сектори доиравӣ бо формулаи

\[S = \frac{\pi R^2}{360}\alpha\]

ҳисоб карда мешавад, дар ин ҷо \(R\) - радиуси доира ва \(\alpha\) - ченаки дараҷагии кунҷи марказии мувофиқ.

Масоҳати сегмент, ки ба нимдоира баробар нест, бо формулаи

\[S = \frac{\pi R^2}{360}\alpha \pm S_\Delta\]

ҳисоб карда мешавад, ки дар ин ҷо \(\alpha\) - ченаки дараҷагии кунҷи марказӣ, ки камони ин сегменти доиравиро дарбар дорад ва \(S_\Delta\) - масоҳати секунҷаест, ки қуллаҳои он дар маркази доира ва нӯгҳои радиуси сектори мувофиқро маҳдудкунанда воқеъ аст. Агар \(\alpha < 180^\circ\) бошад, аломати "-" ва агар \(\alpha > 180^\circ\) бошад, аломати "+"-ро гирифтан лозим аст.