Ҷои №1 барои рекламаи шумо!

Барои робита: oftob.com@gmail.com

Мавод дар асоси китоби "Геометрия"-и математик А.В. Погорелов тартиб дода шудааст.

Саволи 1. Хати шикаста чист? Дарозии хати шикаста чист?
Ҷавоб. Шакле, ки аз нуқтаҳои \(А_1, А_2, ... ,А_n\) ва порчаҳои онҳоро пайвасткунандаи \(A_1A_2, A_2A_3, ..., A_{n-1}A_n\) ташкил шудааст, хати шикастаи \(A_1A_2A_3...A_n\) номида мешавад.  Нуқтаҳои \(А_1, А_2, ...,А_n\) қуллаҳои хати шикаста ва порчаҳои \(A_1A_2, A_2A_3, ..., A_{n-1}A_n\) қисмҳои хати шикаста номида мешаванд. Агар хати шикаста худашро набурад, онро хати шикастаи содда меноманд.

Дар расми 1, а хати шикастаи содда тасвир шудааст. Дар рами 1, б хати шикастае, ки худашро (дар нуқтаи \(B\)) мебурад, тасвир шудааст. Ҳосили ҷамъи дарозии қисмҳои хати шикаста дарозии хати шикаста номида мешавад.

Саволи 2. Дарозии хати шикаста аз дарозии порчаи пайвасткунандаи нӯгҳои он хурд нест.
Ҷавоб. Теорема. Дарозии хати шикаста аз дарозии порчае, ки нугҳои онро пайваст мекунад, хурд нест.

Исбот. \(A_1A_2A_3...A_n\) – хати шикастаи додашуда (расми ). Қисмҳои \(A_1A_2\) ва \(A_2A_3\)-ро ба як қисми \(A_1A_3\) иваз мекунем. Хати шикастаи \(A_1A_3A_4...A_n\) ҳосил мешавад. Мувофиқи нобаробарии секунҷа

\[A_1A_3 < A_1A_2 + A_2A_3\]

аст. Пас, дарозии ин хати шикаста аз дарозии хати шикастаи додашуда калон нест.

Бо ҳамин тарз қисмҳои \(A_1A_3\) ва \(A_3A_4\)-ро бо қисми \(A_1A_4\) иваз карда, хати шикастаи \(A_1A_4A_5...A_n\)-ро ҳосил мекунем. Дарозии ин хати шикаста аз дарозии хати шикастаи додашуда калон нест. Ва ғайра. Дар охир мо порчаи \(A_1A_n\)-ро ҳосил мекунем, ки он нӯгҳои хати шикастаро пайваст мекунад. Аз ин ҷо натиҷа мебарояд, ки дарозии хати шикастаи додашуда аз дарозии порчаи \(A_1A_n\) хурд нест. Теорема исбот шуд.

Саволи 3. Бисёркунҷа чист? Бисёркунҷаи барҷаста чист?
Ҷавоб. Агар нугҳои хати шикаста ҳамҷоя шаванд, хати шикастаро хати шикастаи сарбаста меноманд. Агар қисмҳои ҳамсояи хати шикастаи соддаи сарбаста дар як хати рост воқеъ набошанд, онро бисёркунҷа меноманд (расми 2. а). Қуллаҳои хати шикаста қуллаҳои бисёркунҷа номида мешаванд. Қисмҳои хати шикаста тарафҳои бисёркунҷа номида мешавад. Порчаҳое, ки қуллаҳои ҳамсоянабудаи бисёркунҷаро пайваст мекунанд, диагоналҳо номида мешаванд. Бисёркунҷае, ки \(n\)-то қулла ва \(n\)-то тараф дорад, \(n\)-кунҷа номида мешавад.

Агар бисёркунҷа нисбат ба хати росте, ки тарафашро дарбар дорад, дар як нимҳамворӣ воқеъ бошад, бисёркунҷаро бисёркунҷаи барҷаста меноманд. Дар расми 2. б бисёркунҷаи барҷаста ва дар расми 2. в бисёркунҷаи ғайрибарҷаста тасвир ёфтааст.

Саволи 4. Бисёркунҷаи ҳамвор чист?
Ҷавоб. Қисми охирдори ҳамворӣ, ки бо бисёркунҷа маҳдуд аст, бисёркунҷаи ҳамвор ё соҳаи бисёркунҷа номида мешавад (расми ).

Саволи 5. Кунҷи бисёркунҷаи барҷастаи назди қуллаи додашуда чист?
Ҷавоб. Кунҷе, ки тарафҳои аз як қулла барояндаи бисёркунҷаи барҷаста ташкил медиҳанд, кунҷи бисёркунҷаи барҷаста номида мешавад.

Саволи 6. Формулаи ҳосили ҷамъи кунҷҳои бисёркунҷаи барҷастаро ҳосил кунед.
Ҷавоб. Теорема. Ҳосили ҷамъи кунҷҳои \(n\)-кунҷаи барҷаста ба \(180^\circ (n-2)\) баробар аст.

Исбот. Теорема дар мавриди \(n=3\) будан дуруст аст. Бигзор \(А_1А_2...А_n\) бисёркунҷаи барҷастаи додашуда ва \(n>3\)  бошад (расми 279). \(n-3\) диагонал: \(A_1A_3, A_1A_4, ..., A_1A_{n-1}\) мегузаронем. Азбаски бисёркунҷа бисёркунҷаи барҷаста аст, пас ин диогналҳо онро ба \(n-2\) секунҷа \(\triangle A_1A_2A_3\), \(\triangle A_1A_2A_4\), ..., \(\triangle A_1A_{n-1}A_n\) тақсим мекунанд. Ҳосили ҷамъи кунҷҳои бисёркунҷаи \(A_1A_2...A_n\), ба ҳосили ҷамъи кунҷҳои ҳамаи ин секунҷаҳо баробар аст. Ҳосили ҷамъи кунҷҳои ҳар як секунҷа ба \(180^\circ\) баробар аст ва шумораи ин секунҷаҳо \(n-2\)–то мебошанд. Бинобар ин ҳосили ҷамъи кунҷҳои бисёркунҷаи барҷастаи \(A_1A_2...A_n\)  ба \(180^\circ \cdot(n-2)\)  баробар аст.

Саволи 7. Кунҷи берунии бисёркунҷаи барҷаста чист?
Ҷавоб. Кунҷе, ки ба кунҷи дарунии бисёркунҷаи барҷаста (дар назди ягон қулла) ҳамсоя аст, кунҷи берунии бисёркунҷаи барҷаста (дар назди ҳамон қулла) номида мешавад.

Саволи 8. Исбот кунед: Бисёркунҷаи мунтазам бисёркунҷаи дарун кашидашудаи давра ва бисёркунҷаи берун кашидашудаи давра мебошад.
Ҷавоб. Теорема. Бисёркунҷаи барҷастаи мунтазам бисёркунҷаи дарун кашидашудаи давра ва бисёркунҷаи берун кашидашудаи давра мебошад.

Исбот. Бигзор \(A\) ва \(B\) ду қуллаи ҳамсояи бисёркунҷаи мунтазам бошад (расми 280). Аз қуллаҳои \(A\) ва \(B\)–и бисёркунҷа биссектрисаи кунҷҳоро мегузаронем. \(O\) - нуқтаи буриши онҳо. Секунҷаи \(AOB\)  секунҷаи баробарпаҳлуи асосаш \(AB\) мебошад ва кунҷҳои назди асосҳояш ба \(\frac{\alpha}{2}\) баробар аст (дар инҷо \(\alpha\) – кунҷи бисёркунҷа).

Нуқтаи \(O\)-ро бо қуллаи \(C\), ки ба \(B\) ҳамсоя аст, пайваст мекунем. Секунҷаҳои \(ABO\) ва \(CBO\), мувофиқи аломати якуми баробарии секунҷаҳо, баробар мебошанд. Дар ин секунҷаҳо тарафи \(OB\) тарафи умумӣ буда, тарафҳои \(AB\) ва \(DC\), чун тарафҳои бисёркунҷаи мунтазам, баробар мебошанд ва кунҷҳои назди қуллаи \(B\) ба \(\frac{\alpha}{2}\) баробаранд. Аз баробарии секунҷаҳо натиҷа мебарояд, ки секунҷаи \(OBC\) - секунҷаи баробарпаҳлу буда, кунҷи назди қуллаи \(C\) ба \(\frac{\alpha}{2}\) баробар аст, яъне \(CO\) биссектрисаи кунҷи \(C\) мебошад.

Акнун нуқтаи \(O\)-ро бо қуллаи \(D\), ки ба \(C\) ҳамсоя аст, пайваст мекунем ва исбот менамоем, ки секунҷаи \(COD\) секунҷаи баробарпаҳлу буда, \(DO\) биссектрисаи кунҷи \(D\)-и бисёркунҷа мебошад. Ва ғайра.

Дар охир маълум мешавад, ки дар як секунҷае, ки як тарафаш тарафи  бисёркунҷа буда, қуллаи муқобилаш нуқтаи \(O\) мебошад, секунҷаи баробарпаҳлу мебошад. Ҳамаи ин секунҷаҳо тарафҳои паҳлуии баробар доранд. Ин секунҷаҳо баландиҳои баробари ба асосашон гузаронидашуда доранд. Аз ин ҷо натиҷа мебарояд, ки ҳамаи қуллаҳои бисёркунҷа дар давраи марказаш \(O\) ва радиусаш баробари тарафи паҳлуии секунҷа воқеъ мебошанд. Ҳамаи тарафҳои бисёркунҷа ба давраи марказаш \(O\) ва радиусаш баробари баландии секунҷа, ки аз қуллаи \(O\) гузаронида шудааст, мерасанд.

Теорема исбот шуд.

Саволи 9. Маркази бисёркунҷа чист? Кунҷи маркази бисёркунҷа чист?
Ҷавоб. Давраҳои дарун кашидашуда ва берун кашидашудаи бисёркунҷаи мунтазам як марказ доранд. Ин марказ маркази  бисёркунҷа номида мешавад. Кунҷе, ки дар зери он тарафи бисёркунҷаи мунтазам аз маркази он намоён аст, кунҷи марказии бисёркунҷа номида мешавад.