Ҷои №1 барои рекламаи шумо!

Барои робита: oftob.com@gmail.com

Мавод дар асоси китоби "Геометрия"-и математик А.В. Погорелов тартиб дода шудааст.

Саволи 1. Теоремаи косинусҳоро исбот кунед.
Ҷавоб. Теоремаи косинусҳо. Квадрати тарафи дилхоҳи секунҷа ба ҳосили ҷамъи квадратҳои ду тарафи дигар бе дучанди ҳосили зарби ин тарафҳо бар косинуси кунҷи байни онҳо баробар аст.

Исбот. \(ABC\) - секунҷаи додашуда (расми 263). Исбот мекунем, ки

\[BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2\cdot AB \cdot AC \cdot \cos A.\]

Баробарии вектории \(\overline{BC} = \overline{AC} - \overline{AB}\) аст. Ин баробариро ба таври скалярӣ ба квадрат мебардорем:

\[\overline{BC}^2 = \overline{AB}^2 + \overline{AC}^2 - 2\overline{AB}\cdot\overline{AB}\]

\[BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2\cdot AB \cdot AC \cdot \cos A.\]

Теорема исбот шуд.

Саволи 2. Исбот кунед: квадрати тарафи секунҷа ба ҳосили ҷамъи квадратҳои ду тарафи дигар "\(\pm\)" дучанди ҳосили зарби яке аз ин тарафҳо ба проекцияи тарафи дигар баробар аст. Аломати  "+" ё "-" аз чӣ вобаста аст?
Ҷавоб. \(AC\cos A\) ба бузургии мутлақи проексияи \(AD\)-и тарафи \(AC\) ба тарафи \(AB\) (расми 263, а) ё давоми он (расми 263, б) баробар аст. Аломати \(AC\cos A\) аз кунҷи \(A\) вобаста аст: агар кунҷи \(A\) кунҷи тез бошад, "+" мешавад ва агар кунҷи \(A\) кунҷи кунд бошад, "-" мешавад. Аз ин ва теоремаи косинусҳо чунин натиҷа мебарояд: квадрати як тарафи секунҷа ба ҳосили ҷамъи квадратҳои ду тарафи дигар "\(\pm\)" ҳосили зарби дучандаи яке аз онҳо ба проексияи дигараш баробар аст. Агар кунҷи муқобили тарафи секунҷа кунҷи кунд бошад, аломатро "+" ва агар кунҷи тез бошад, аломатро "-" гирифтан лозим аст.

Саволи 3. Теоремаи синусҳоро исбот кунед.
Ҷавоб. Теоремаи синусҳо. Тарафҳои секунҷа ба синуси кунҷҳои муқобил мутаносиб ҳастанд.

Исбот. \(ABC\) - секунҷаи тарафҳояш \(a, b, c\) ва кунҷҳои муқобилаш \(\alpha, \beta, \gamma\) (расми 265). Исбот мекунем, ки

\[\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma}.\]

Аз қуллаи \(C\) баландии \(CB\)-ро мегузаронем. Аз секунҷаи росткунҷаи \(ACD\), агар кунҷи \(\alpha\) кунҷи тез бошад:

\[CD = b\sin\alpha\]

(расми 265, а). Агар кунҷи \(\alpha\) кунҷи кунд бошад, он гоҳ

\[CD = b\sin (180^\circ - \alpha) = b\sin\alpha\]

(расми 265, б). Ҳамин тавр аз секунҷаи \(BCD\) меёбем:

\[CD = a\sin\beta\]

Инак, \(a\sin\beta = b\sin\alpha\). Аз ин ҷо

\[\frac{b}{\sin\beta} = \frac{a}{\sin\alpha}.\]

Баробарии

\[\frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma}\]

ҳамин тавр исбот карда мешавад. Барои исбот аз қуллаи \(A\) баландии секунҷаро гузаронидан лозим аст. Теорема исбот шуд.

Саволи 4. Исбот кунед: дар секунҷаи дилхоҳ дар муқобили тарафи калон кунҷи калон воқеъ аст ва дар муқобили кунҷи калон тарафи калон воқеъ аст.
Ҷавоб. Тасдиқот. Дар секунҷаи дилхоҳ дар муқобили тарафи калон кунҷи калон воқеъ мешавад ва дар муқобили кунҷи калон тарафи калон воқеъ мешавад.

Исбот. Фарз мекунем, ки \(a\) ва \(b\) ду тарафи секунҷа ва \(\alpha, \beta\) кунҷҳои муқобили онҳо мебошанд. Исбот мекунем, ки агар \(\alpha > \beta\) бошад, он гоҳ \(a>b\). Ва, баръакс: агар \(a>b\) бошад, \(\alpha > \beta\) аст.

Агар кунҷҳои \(\alpha\) ва \(\beta\) кунҷҳои тез бошанд (расми 267, а), он гоҳ ҳангоми \(\alpha > \beta\) будан \(\sin\alpha > \sin\beta\) аст. Азбаски

\[\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta}\]

аст, пас \(a>b\). Агар кунҷи \(\alpha\) кунд бошад (ҳар ду кунҷ кунҷҳои кунд намешаванд), он гоҳ кунҷи \(180^\circ - \alpha\) кунҷи тез аст (расми 267, б). Кунҷи \(180^\circ - \alpha\), чун кунҷи берунии секунҷа, ки бо кунҷи \(\beta\) ҳамсоя нест, аз кунҷи \(\beta\) калон аст. Бинобар ин \(\sin\alpha = \sin (180^\circ - \alpha) > \sin\beta\). Боз хулоса мебарояд, ки \(a>b\) аст.

Тасдиқоти баръаксро исбот мекунем. Бигзор \(a>b\) бошад. Исбот кардан лозим аст, ки \(\alpha > \beta\). Фарз мекунем, ки \(\alpha \leq \beta\) аст. Агар \(\alpha = \beta\) бошад, он гоҳ секунҷа секунҷаи баробарпаҳлӯ аст ва \(a = b\) мебошад. Агар \(\alpha < \beta\) бошад, мувофиқи исбот \(a < b\) аст. Дар ҳар ду маврид ҳам зиддият пайдо шуд, чунки мувофиқи фарз \(a > b\) аст, яъне \(\alpha > \beta \) аст, ки ҳаминро исбот кардан лозим буд.