Ҷои №1 барои рекламаи шумо!

Барои робита: oftob.com@gmail.com

Мавод дар асоси китоби "Геометрия"-и математик А.В. Погорелов тартиб дода шудааст.

Саволи 1. Стереометрия  чист?
Ҷавоб. Стереометрия фасли геометрия мебошад, ки дар он шаклҳои фазогӣ омӯхта мешаванд. Дар стереометрия, мисли планиметрия, бо роҳи исботи теоремаҳои мувофиқ хосиятҳои (шаклҳои) геометрӣ муқаррар карда мешавад.

Саволи 2. Аксиомаҳои гурӯҳи С-ро баён кунед.
Ҷавоб. Ҷорӣ кардани тимсоли геометрии нав – ҳамворӣ – васеъ кардани системаи аксиомаҳоро талаб мекунад.

Гурӯҳи аксиомаҳои С, ки он хосиятҳои асосии ҳамворӣ дар фазоро ифода мекунад, аз се қисми зерин иборат аст:

\(C_1.\) Ҳамворӣ чӣ хеле, ки бошад, нуқтае ҳаст, ки ба ин ҳамворӣ тааллуқ дорад ва нуқтае ҳаст, ки ба он тааллуқ надорад.

\(C_2.\) Агар ду ҳамвории гуногун нуқтаи умумӣ дошта бошад, он гоҳ онҳо бо хати рости аз ин нуқта гузаранда бурида мешаванд.

Ин аксиома тасдиқ мекунад, ки агар ду ҳамвории гуногун \(\alpha\) ва \(\beta\) нуқтаи умумӣ дошта бошанд, он гоҳ хати рости \(c\) ҳаст, ки ба ҳар яки ин ҳамвориҳо тааллуқ дорад. Дар айни ҳол агар нуқтаи \(C\) ба ҳар ду ҳамворӣ тааллуқ дошта бошад, он гоҳ он ба хати рости \(c\) ҳам тааллуқ дорад.

\(C_3.\) Агар ду хати рости гуногун нуқтаи умумӣ дошта бошанд, он гоҳ аз онҳо ҳамворӣ гузаронидан мумкин аст, ва фақат якто.

Ин чунин маъно дорад, ки агар ду хати рости гуногуни \(a\) ва \(b\) нуқтаи умумии \(C\) дошта бошанд, он гоҳ ҳамвории \(\gamma\) вуҷуд дорад, ки он хатҳои рости \(a\) ва \(b\)-ро дарбар дорад. Ҳамворие, ки ба ин хосият соҳиб аст, ягона мебошад.

Ҳамин тариқ, системаи аксиомаҳои стерометрия аз аксиомаҳои I-IX планиметрия ва гурӯҳи аксиомаҳои C иборат аст

Саволи 3. Исбот кунед: аз хати рост ва нуқтаи дар он воқеъ набудагӣ ҳамворӣ гузаронидан мумкин аст, ва фақат якто.
Ҷавоб. Теорема. Аз хати рост ва нуқтаи дар он воқеъ набудагӣ ҳамворӣ гузаронидан мумкин аст, ва фақат якто.

Исбот. Бигзор \(AB\) хати рости додашуда ва \(C\) нуқтаи дар он воқеъ набудагӣ бошад (расми 312). Аз нуқтаҳои \(A\) ва \(C\) хати рост мегузаронем (аксиомаи 1). Хатҳои рости \(AB\) ва \(AC\) гуногун мебошанд, чунки нуқтаи \(C\) дар хати рости \(AB\) воқеъ нест. Аз хатҳои рости \(AB\) ва \(AC\) ҳамвории \(\alpha\) мегузаронем (аксиомаи  ). Ин ҳамворӣ аз хати рости \(AB\) ва нуқтаи \(C\) мегузарад.

Исбот мекунем, ки ҳамвории \(\alpha\), ки аз хати рости \(AB\) ва нуқтаи \(C\) мегузарад, ягона мебошад.

Фарз мекунем, ки ҳамвории дигари \(\alpha'\) мавҷуд аст, ки он аз хати рости \(AB\) ва нуқтаи \(C\) мегузарад. Мувофиқи аксиомаи \(C_2\) ҳамвориҳои \(\alpha\) ва \(\alpha'\) бо хати рост бурида мешаванд. Ин хати рост бояд нуқтаҳои \(A, B, C\)-ро дарбар гирад. Лекин ин нуқтаҳо дар як хати рост воқеъ нестанд. Мо ба зиддият дучор шудем.

Теорема исбот шуд.

Саволи 4. Исбот кунед: агар ду нуқтаи хати рост ба ҳамворӣ тааллуқ дошта бошанд, он гоҳ хати рост ба ҳамворӣ тааллуқ дорад..
Ҷавоб. Теорема. Агар ду нуқтаи хати рост ба ҳамворӣ тааллуқ дошта бошанд, он гоҳ ин хати рост ба ин ҳамворӣ тааллуқ дорад.

Исбот. Бигзор \(a\) хати рости додашуда ва \(\alpha\) ҳамвории додашуда бошад (расми 314).  Мувофиқи аксиомаи I нуқтаи \(A\) вуҷуд дорад, ки дар хати рости \(a\) воқеъ нест. Аз хати рости \(a\) ва нуқтаи \(A\) ҳамвории \(\alpha'\) мегузаронем. Агар ҳамвории \(\alpha'\) бо ҳамвории \(\alpha\) ҳамҷоя шавад, он гоҳ ҳамвории \(\alpha\) хати рости \(a\)-ро дарбар дорад, ки инро теорема тасдиқ мекунад. Агар ҳамвории \(\alpha'\) аз ҳамвории \(\alpha\) фарқ кунад, он гоҳ ин ҳамвориҳо аз рӯи хати рости \(a'\), ки ду нақтаи хати рости \(a\)-ро дорад, бурида мешаванд. Мувофиқи аксиомаи I хати рости \(a'\) бо \(a\) ҳамҷоя мешавад ва, бинобар ин, хати рости \(a\) дар ҳамвории \(\alpha\) воқеъ аст.

Теорема исбот шуд.

Саволи 5. Исбот кунед: аз се нуқтае, ки дар як хати рост воқеъ нестанд, ҳамворӣ гузаронидан мумкин аст ва фақат якто.
Ҷавоб. Теорема. Аз се нуқтае, ки дар як хати рост воқеъ нестанд, ҳамворӣ гузаронидан мумкин аст, ва фақат якто.

Исбот. A, B, C – се нуқтаи додашуда, ки дар як хати рост воқеъ нестанд (расми 317). Хатҳои рости AB ва AC мегузаронем; онҳо гуногун мебошанд, чунки нуқтаҳои A, B, C дар як хати рост воқеъ нестанд. Мувофиқи аксиомаи   аз хатҳои рости AB ва AC ҳамвории α гузаронидан мумкин аст. Ин ҳамворӣ нуқтаҳои A, B, C дорад.

Исбот мекунем, ки ҳамвории \(\alpha\), ки аз нуқтаҳои A, B, C мегузарад, ягона мебошад. Ҳақиқатан, ҳамворие, ки аз нуқтаҳои A, B, C мегузарад, мувофиқи теоремаи 15.2 (нигаред ба саволи 4), хатҳои рости AB ва AC дорад. Мувофиқи аксиомаи \(C_3\) чунин ҳамворӣ ягона мебошад.