Ҷои №1 барои рекламаи шумо!

Барои робита: oftob.com@gmail.com

Мавод дар асоси китоби "Геометрия"-и математик А.В. Погорелов тартиб дода шудааст.

Саволи 1. Чӣ гуна шаклро чоркунҷа меноманд?
Ҷавоб. Шакле, ки аз чор нуқта ва чор порчаи пай дар пай пайвасткунандаи ин нуқтаҳо иборат аст, чоркунҷа номида мешавад. Аз ин чор нуқта сетоаш на бояд дар як хати рост воқеъ шаванд ва порчаҳои пайвасткунандаи онҳо на бояд якдигарро буранд. Нуқтаҳои додашуда қуллаҳои чоркунҷа номида мешаванд. Порчаҳои пайвасткунандаи нуқтаҳо тарафҳои чоркунҷа номида мешаванд.

Саволи 2. Кадом  қуллаҳои чоркунҷа  қуллаҳои  ҳамсоя  ва  кадомашон  қуллаҳои муқобил номида  мешаванд?
Ҷавоб. Агар қуллаҳои чоркунча нӯгҳои яке аз тарафҳо бошанд, ин қуллаҳоро қуллаҳои ҳамсоя меноманд. Қуллаҳое, ки ҳамсоя нестанд, қуллаҳои муқобил номида мешаванд.

Саволи 3. Диагоналҳои чоркунҷа чист?
Ҷавоб. Порчаҳое, ки қуллаҳои муқобили чоркунчаро пайваст мекунанд, диагналҳо номида мешаванд.

Саволи 4. Кадом тарафҳои чоркунҷа тарафҳои ҳамсоя номида мешаванд? Кадом тарафҳои чоркунҷа тарафҳои муқобил номида мешаванд?
Ҷавоб. Тарафҳои чоркунҷа, ки аз як қулла мебароянд, тарафҳои ҳамсоя номида мешаванд. Тарафҳое, ки нӯги умумӣ надоранд, тарафҳои муқобил номида мешаванд. Дар чоркунҷаи расми 117 тарафҳои \(AB\) ва \(CD\), \(BC\) ва \(AD\) тарафҳои муқобил мебошад.

Саволи 5. Чоркунҷаро чӣ тавр ишорат мекунанд?
Ҷавоб. Чоркунҷа бо навишти қуллаҳояш ишорат мешавад. Масалан, чоркунҷаи расми 117 чунин ишорат карда мешавад: \(ABCD\). Дар ишорати чоркунҷа қуллаҳои ҳамсаф бояд қуллаҳои ҳамсоя бошанд. Чоркунҷаи \(ABCD\) (расми 117)-ро ин тавр ҳам ишорат кардан мумкин: \(BCDA\) ё \(CDAB\). Лекин чоркунҷаи \(ABCD\)-ро ба намуди \(ABDC\) ишорат кардан мумкин нест (чунки \(B\) ва \(D\) қуллаҳои ҳамсоя намебошанд).

Саволи 6. Параллелограмм чист?
Ҷавоб. Параллелограм чоркунҷаест, ки тарафҳои муқобилаш паралел мебошанд, яъне дар хатҳои рости паралел воқеъ мебошанд.

Саволи 7. Исбот кунед: Агар диагоналҳои чоркунҷа якдигарро буранд ва дар нуқтаи буриш ба ду қисми баробар тақсим шаванд, он гоҳ чоркунҷа параллелограмм аст.
Ҷавоб. Теоремаи 6.1. Агар диагоналҳои чоркунҷа якдигарро буранд ва дар нуқтаи буриш ба ду қисми баробар тақсим шаванд, он гоҳ чоркунҷа параллелограмм аст.
Исбот. Бигзор \(ABCD\) чоркунҷаи додашуда ва \(O\) нуқтаи буриши диагналҳои он бошад (расми 119).
Секунҷаҳои \(AOD\) ва \(COB\) баробаранд. Дар ин секунҷаҳо кунҷҳои назди қуллаи \(O\), чун кунҷҳои вертикалӣ, баробаранд ва мувофиқи шарти теорема \(OD=OB\) ва \(OA=OC\).
Пас, кунҷҳои \(OBC\) ва \(ODA\) баробаранд. Ин кунҷҳо кунҷҳои дарунии чилликии назди хатҳои рости \(AD\) ва \(BC\) ва бурандаи \(BD\) мебошанд. Мувофиқи аломати параллелии хатҳои рост хатҳои рости \(AD\) ва \(BC\) параллел мебошанд. Параллелии хатҳои рости \(AD\) ва \(BC\) бо ёрии баробарии секунҷахои \(AOB\) ва \(COD\) ҳамин тавр исбот карда мешавад.
Азбаски тарафҳои муқобили чоркунҷа параллел мебошанд, пас мувофиқи таъриф ин чоркунҷа параллелограмм аст.
Теорема исбот шуд.

Саволи 8. Исбот кунед: Диагоналҳои параллелограмм якдигарро мебуранд ва дар нуқтаи буриш ба ду қисми баробар тақсим мешаванд.
Ҷавоб. Теоремаи 6.2 (теоремаи баръакси 6.1). Диагоналҳои параллелограмм якдигарро мебуранд ва дар нуқтаи буриш ба ду қисми баробар тақсим мешаванд.
Исбот. Бигзор \(ABCD\) параллелограмми додашуда бошад (расми 120). Диагнали \(BD\)-ро мегузаронем. Миёнаҷои он \(O\)-ро нишона мекунем ва дар давоми порчаи \(AO\) порчаи \(OC\)-и ба \(AO\) баробарро ҷудо мекунем.

Мувофиқи теоремаи 6.1 чоркунҷаи \(ABC_1D\) параллелограмм мебошад. Пас хати рости \(BC\) ба хати рости \(AD\) параллел аст. Лекин аз нуқтаи \(B\) фақат як хати рости ба \(AD\) параллелро гузаронидан мумкин аст. Яъне хати рости \(BC_1\) бо хати рости \(BC\) ҳамҷоя мешаванд.

Ҳамин тавр исбот карда мешавад, ки хати рости \(DC_1\) бо хати рости \(DC\) ҳамҷоя мешавад.
Пас, нуқтаи \(C_1\) бо нуқтаи \(C\) ҳамҷоя  мешавад. Параллелограми \(ABCD\) бо \(ABC_1D\) ҳамҷоя мешавад. Бинобар ин диагналҳои он якдигарро мебуранд ва дар нуқтаи буриш ба ду қисми баробар тақсим мешаванд.

Теорема исбот шуд.

Саволи 9. Исбот кунед: Дар параллелограмм тарафҳои муқобил баробаранд ва кунҷҳои муқобил ҳам баробаранд.
Ҷавоб. Теоремаи 6.3. Дар параллелограмм тарафҳои муқобил баробаранд ва кунҷҳои муқобил ҳам баробаранд.
Исбот. \(ABCD\) - параллелограмми додашуда (расми 122). Диагоналҳои параллелограммро мегузаронем. \(O\) - нуқтаи буриши диагоналҳо.
Аз баробарии секунҷаҳои \(AOB\) ва \(COD\) натиҷа мебарояд, ки тарафҳои муқобил \(AB\) ва \(CD\) баробаранд. Дар ин секунҷаҳо кунҷҳои назди қуллаи \(O\), чун кунҷҳои амудӣ, баробар мебошанд ва мувофиқи хосияти диагоналҳои параллелограмм \(OA=OC\), \(OB=OD\). Айнан ҳамин тавр аз баробарии секунҷаҳои \(AOD\) ва \(COB\) натиҷа мебарояд, ки тарафҳои муқобил \(AD\) ва \(BC\) баробаранд.
Аз баробарии секунҷаҳои \(ABC\) ва \(CDA\) (аз рӯи се тараф) натиҷа мебарояд, ки кунҷҳои муқобил \(ABC\) ва \(CDA\) баробаранд. Дар ин секунҷаҳо мувофиқи исбот кардаамон \(AB=CD\), \(BC=DA\) ва тарафи \(AC\) тарафи умумӣ аст. Айнан ҳамин тавр аз баробарии секунҷаҳои \(BCD\) ва \(DAB\) натиҷа мебарояд, ки кунҷҳои муқобил \(BCD\) ва \(DAB\) баробаранд.
Теорема исбот шуд.

Саволи 10. Росткунҷа чист?
Ҷавоб. Росткунҷа параллелограммест, ки ҳамаи кунҷҳояш рост мебошанд (расми 124).

Саволи 11. Исбот кунед, ки диагоналҳои росткунҷа баробаранд.
Ҷавоб. Теоремаи 6.4. Диагоналҳои росткунҷа баробар мебошанд.
Исбот. \(ABCD\) росткунҷа мебошад (расми 125).

Тасдиқоти теорема аз баробарии секунҷаҳои росткунҷаи \(BAD\) ва \(CDA\) бармеояд. Дар ин секунҷаҳо кунҷҳои \(BAD\) ва \(CDA\) кунҷҳои рост буда, катети \(AD\) катети умумӣ аст ва катетҳои \(AB\) ва \(CD\), чун тарафҳои муқобили параллелограмм, баробаранд. Аз баробарии секунҷаҳо натиҷа мебарояд, ки гипотенузаҳои онҳо баробаранд. Гипотенузаҳо диагоналҳои росткунҷа мебошанд.

Теорема исбот шуд.

Саволи 12. Ромб чист?
Ҷавоб. Ромб параллелограмме аст, ки ҳамаи тарафҳояш баробар мебошанд (расми 127).

Саволи 13. Исбот кунед, ки диагоналҳои ромб дар таҳти кунҷи рост якдигарро мебуранд; диагоналҳои ромб биссектрисаи кунҷҳои он мебошанд.
Ҷавоб. Теоремаи 6.5. Диагоналҳои ромб дар таҳти кунҷи рост якдигарро мебуранд. Диагоналҳои ромб биссектрисаи кунҷҳои он мебошанд.
Исбот. \(ABCD\) – ромб (ба расми 127 нигаред), \(O\) - нуқтаи буриши диагоналҳои он. Мувофиқи хосияти параллелограмм \(AO = OC\). Пас, дар секунҷаи \(ABC\) порчаи \(BO\) медиана мебошад. Азбаски \(ABCD\) ромб аст, пас \(AB = BC\) ва секунҷаи \(ABC\) секунҷаи баробарпаҳлу мебошад. Мувофиқи хосияти секунҷаи баробарпаҳлу медианае, ки ба асоси он гузаронида шудааст, биссектриса ва баландӣ мебошад. Ин чунин маъно дорад, ки диагонали \(BD\) биссектрисаи кунҷи \(B\) мебошад ва ба диагонали \(AC\) перпенндикуляр аст.

Теорема исбот шуд.

Саволи 14. Квадрат чист? Хосиятҳои квадратро номбар кунед.
Ҷавоб. Квадрат росткунҷае аст, ки ҳамаи тарафҳояш баробар мебошанд.

Азбаски тарафҳои квадрат баробаранд, пас квадрат ҳам ромб мебошад. Бинобар ин квавдрат ба хоситяҳои росткунҷа ва ромб соҳиб аст.

1. Ҳамаи кунҷҳои квадрат кунҷҳои рост мебошанд.
2. Диагоналҳои квадрат баробар мебошанд.
3.Диагоналҳои квадрат дар таҳти кунҷи рост якдигарро мебуранд ва биссектрисаи кунҷҳои он мебошанд.

Саволи 15. Теоремаи Фалесро исбот кунед.
Ҷавоб. Теоремаи 6.6 (Теоремаи Фалес). Агар хатҳои рости параллеле, ки тарафҳои кунҷро мебуранд, дар як тарафи кунҷ порчаҳои баробарро бурида ҷудо кунанд, он гоҳ онҳо дар тарафи дигари кунҷ ҳам порчаҳои баробарро бурида ҷудо мекунанд (расми 131).

Исбот. Фарз мекунем, ки \(A_1, A_2, A_3\), нуқтаҳои буриши хатҳои рости параллел бо яке аз тарафҳои кунҷ мебошанд ва \(A_2\) байни \(A_1\) ва \(A_3\) воқеъ аст (расми 131). Фарз мекунем, ки \(B_1, B_2, B_3\) нуқтаҳои мувофиқи буриши ин хатҳои рост бо тарафи дигари кунҷ мебошанд. Исбот мекунем, ки агар \(A_1A_2 = A_2A_3\) бошад, он гоҳ \(B_1B_2 = B_2B_3\).

Аз нуқтаи \(В_2\) хати рости \(EF\)-ро ба хати рости \(A_1A_3\) параллел карда мегузаронем. Мувофиқи хосияти параллелограм \(A_1A_2 = FB_2\), \(A_2A_3 = B_2E\). Азбаски \(A_1A_2 = A_2A_3\) аст, пас \(FB_2 = B_2E\) мебошад.

Секунҷаҳои \(B_2B_1F\) ва \(B_2B_3E\) мувофиқи аломати дуюм баробаранд. Дар ин секунҷаҳо мувофиқи исбот \(B_2F = B_2E\). Кунҷҳои назди қуллаи \(B_2\), чун кунҷҳои амудӣ, баробаранд. Кунҷҳои \(B_2FB_1\) ва \(B_2EB_3\), чун кунҷҳои дарунии чилликии назди хатҳои рости паралллели \(A_1B_1\) ва \(A_3B_3\) ва бурандаи \(EF\), баробар мебошанд.

Аз баробарии секунҷаҳо натиҷа мебарояд, ки \(B_1B_2 = B_2B_3\).

Теорема исбот шуд.

Саволи 16. Исбот кунед, ки хати миёнаи секунҷа ба ними тарафи мувофиқ баробар аст.
Ҷавоб. Порчае, ки миёнаҷои ду тарафи секунҷаро пайваст мекунад, хати миёнаи секунҷа номида мешавад.

Теоремаи 6.7. Хати миёнаи секунҷа, ки миёнаҷои ду тарафи онро пайваст мекунад, ба тарафи сеюм параллел аст ва ба ними он баробар мебошад.

Исбот. Фарз мекунем, ки \(DE\) хати миёнаи секунҷаи \(ABC\) аст (расми 133). Аз нуқтаи \(D\) хати рости ба \(AB\) параллелро мегузаронем. Мувофиқи теоремаи Фалес он порчаи \(AC\)-ро дар миёнҷояш мебурад, яъне хати миёнаи \(DE\) мебошад. Пас, хати миёнаи \(DE\) ба тарафи \(AB\) параллел аст.

Акнун хати миёнаи \(DF\)-ро мегузоронем. \(DF\) ба \(AC\) параллел аст. Чоркунҷаҳои \(AEDF\) параллелограмм мебошад. Мувофиқи хосияти параллелограмм \(ED=AF\) ва азбаски мувофиқи теоремаи Фалес \(AF=FB\) аст, пас \(ED=\frac{1}{2}AB\).

Теорема исбот шуд.

Саволи 17. Чӣ гуна чоркунҷаро трапетсия меноманд?
Ҷавоб. Чоркунҷае, ки фақат ду тарафи муқобилаш параллел мебошанд, трапетсия номида мешавад. Ин тарафҳои параллел асосҳои трапетсия номида мешаванд. Ду тарафи дигари трапетсия тарафҳои паҳлуӣ номида мешаванд.

Саволи 18. Чӣ гуна трапетсияро трапетсияи баробарпаҳлу меноманд?
Ҷавоб. Трапетсияе, ки тарафҳои паҳлуиаш баробаранд, трапетсияи баробарпаҳлу номида мешавад. Порчае, ки миёнаҷои тарафҳои паҳлуиро пайваст мекунад, хати миёнаи трапетсия номида мешавад.

Саволи 19. Исбот кунед, ки хати миёнаи трапетсия ба ними ҳосили ҷамъи асосҳо баробар аст.
Ҷавоб. Теорема. Хати миёнаи трапетсия ба асосҳо параллел буда, ба ними ҳосили ҷамъи онҳо баробар аст.

Исбот. Бигзор \(ABCD\) трапетсияи додашуда бошад (расми136). Аз қуллаи \(B\) ва миёнаҷой (\(P\))-и тарафи паҳлуии \(CD\) хати рост мегузаронем. Ин хати рост хати рости \(AD\)-ро дар ягон нуқтаи \(Е\) мебурад.

Секунҷаҳои \(PBC\) ва \(PED\) мувофиқи аломати дуюми баробарии секунҷаҳо баробар мебошанд. Дар ин секунҷаҳо мувофиқи сохтан \(CP=DP\), кунҷҳои назди қуллаи \(P\), чун кунҷҳои амудӣ, баробаранд. Кунҷҳои \(PCB\) ва \(PDE\), чун кунҷҳои дарунии чилликии назди хатҳои рости паралели \(BC\) ва \(AD\) ва бурандаи \(CD\), баробар мебошанд. Аз баробарии секунҷаҳо натиҷа мебарояд, ки \(PB=PE, BC=ED\).

Пас, хати миёна \(PQ\)-и трапетсия хати миёнаи секунҷаи \(ABE\) мебошад. Мувофиқи хосияти хати миёнаи секунҷа \(PQ||AE\) ва порчаи

\[PQ = \frac{1}{2}AE = \frac{1}{2}(AD+BC).\]

Теорема исбот шуд.

Саволи 20. Теоремаи порчаҳои мутаносибро исбот кунед.
Ҷавоб. Теоремаи 6.9 (Теоремаи порчаҳои мутаносиб). Хатҳои рости параллеле, ки тарафҳои кунҷро мебуранд, дар тарафҳои кунҷ порчаҳои мутаносибро бурида ҷудо мекунад.

Исбот. Бигзор хатҳои рости параллел тарафҳои кунҷи \(A\)-ро мувофиқан дар нуқтаҳои \(B, C\) ва \(B_1, C_1\) буранд (расми 138).

Теорема тасдиқ мекунад, ки

\[\frac{AC_1}{AC} = \frac{AB_1}{AB} \qquad (*)\]

Аввал баробарии (*)-ро дар чунин маврид исбот мекунем. Порчаи дарозиаш \(\delta\)-е ҳаст, ки ҳам ба порчаи \(AC\) ва ҳам ба порчаи \(AC\) бутун маротиба ҷойгир мешавад. Бигзор \(AC=n\delta\), \(AC=m\delta\) ва \(n>m\) бошад.  Порчаи \(AC\)-ро ба \(n\) қисми баробар (-и дарозиаш \(\delta\)) тақсим менамоем. Дар ин ҳолат нуқтаи \(C_1\) яке аз нуқтаҳои тақсимот мешавад. Аз нуқтаҳои тақсимот ба хати рости \(BC\) параллел карда хатҳои рост мегузаронем. Мувофиқи теоремаи Фалес ин хатҳои рост порчаи \(AB\)-ро ба порчаҳои баробари дарозиашон \(\delta_1\) тақсим мекунанд. Чунин ифодаҳоро ҳосил мекунем:

\[AB = n\delta_1, \quad AB_1 = m\delta_1.\]

Мо мебинем, ки

\[\frac{AC_1}{AC} = \frac{m}{n}\]

ва

\[\frac{AB_1}{AB} = \frac{m}{n}.\]

Пас,

\[\frac{AC_1}{AC} = \frac{AB_1}{AB}.\]

Ҳаминро исбот кардан лозим буд.

Теоремаро дар мавриди умумӣ исбот мекунем (на барои дар хотир нигоҳ доштан). Фарз мекунем, ки \(\frac{AC_1}{AC} \neq \frac{AB_1}{AB}\), масалан \(\frac{AC_1}{AC} > \frac{AB_1}{AB}\).

Дар нури \(AC\) порчаи \(AC_2 = \frac{AC}{AB} AB_1\)-ро ҷудо мекунем. Дар ин ҳолат \(AC_2 < AC_1\) порчаи \(AC\)-ро ба чандин \(n\) қисмҳои баробар тақсим мекунем ва аз нуқтаҳои тақсимот ба хати рости \(BC\) паралел карда хатҳои рост мегузоронем.

Ҳангоми ба қадри кифоя калон будани \(n\) дар порчаи \(C_1C_2\) нуқтаҳои тақсимот мешаванд. Яке аз онҳоро бо \(Y\) ва нуқтаи мувофиқ дар порчаи \(AB\)-ро ба \(X\) ишорат менамоем. Мувофиқи исбот

\[\frac{AY}{AC} = \frac{AX}{AB}.\]

Дар ин баробарӣ бузургии \(AY\)-ро бо бузургии хурди \(AC_2\) ва бузургии \(AX\)-ро бо бузургии калони \(AB_1\) иваз мекунем. Онгоҳ

\[\frac{AC_2}{AC} < \frac{AB_1}{AB}.\]

Аз ин ҷо \(AC_2 < \frac{AC}{AB} AB_1\). Лекин \(AC_2 = \frac{AC}{AB} AB_1\). Мо ба зиддият дучор шудем.

Теорема исбот шуд.