Ҷои №1 барои рекламаи шумо!

Барои робита: oftob.com@gmail.com

Мавод дар асоси китоби «Геометрия»-и математик А.В. Погорелов тартиб дода шудааст.

Саволи 1. Чӣ гуна кунҷҳоро кунҷҳои ҳамсоя меноманд?
Ҷавоб. Агар дар ду кунҷ як тараф тарафи умумӣ бошаду тарафҳои дигари ин кунҷҳо нимхатҳои рости пуркунанда бошанд, ин кунҷҳоро кунҷҳои ҳамсоя меноманд. Дар расми а кунҷҳои (a1b) ва (a2b) кунҷҳои ҳамсоя мебошанд. Дар ин кунҷҳо тарафи b тарафи умумӣ буда, тарафҳои a1 ва a2 нимхатҳои рости пуркунанда мебошанд.

Расми а

Саволи 2. Исбот кунед, ки ҳосили ҷамъи кунҷҳои ҳамсоя ба 180° баробар аст.
Ҷавоб. Теоремаи 2.1. Ҳосили ҷамъи кунҷҳои ҳамсоя ба 180° баробар аст.
Исбот. Фарз мекунем, ки \(\angle\)(a1b) ва \(\angle\)(a2b) кунҷҳои ҳамсояи додашуда мебошанд (ба расми а нигаред). Нури b аз байни тарафҳои a1 ва a2-и кунҷи кушод мегузарад. Бинобар ин ҳосили ҷамъи кунҷҳои (a1b) ва (a2b) ба кунҷи кушод, яъне ба 180° баробар аст. Теорема исбот шуд.

Саволи 3. Исбот кунед, агар ду кунҷ баробар бошанд, он гоҳ кунҷҳои ба онҳо ҳамсоя ҳам баробаранд.
Ҷавоб.

Бигзор кунҷҳои (a1b) ва (с1d) – кунҷҳои баробар бошанд. Мувофиқи теоремаи 2.1 \(\angle\)(a2b) = 180° - \(\angle\)(a1b) ва (c2d) = 180° - (c1d), яъне \(\angle\)(a2b) = 180° - \(\angle\)(a1b) = 180° - \(\angle\)(c1d) = \(\angle\)(с2d) мебошад. Бинобар ин баробариҳо \(\angle\)(a2b) ба \(\angle\)(с2d) баробар мебошад. Яъне агар ду кунҷ баробар бошанд, он гоҳ кунҷҳои ба онҳо ҳамсоя ҳам баробаранд. Ана ҳамин исбот буд.

Саволи 4. Чӣ гуна кунҷро кунҷи рост (тез, кунд) меноманд?
Ҷавоб. Кунҷе, ки ба 90° баробар аст, кунҷи рост номида мешавад. Аз теоремаи ҳосили ҷамъи кунҷҳои ҳамсоя чунин натиҷа мебарояд: кунҷе, ки бо кунҷи рост ҳамсоя мебошад, кунҷи рост аст.
Кунҷе, ки аз 90° хурд аст, кунҷи тез номида мешавад.
Кунҷе, ки аз 90° калон ва аз 180° хурд аст, кунҷи кунд номида мешавад.

Саволи 5. Исбот кунед, кунҷи ба кунҷи рост ҳамсоя кунҷи рост мебошад.
Ҷавоб. Бигзор кунҷҳои (a1b) ва (a2b) – кунҷҳои ҳамсоя бошанд ва \(\angle\)(a1b) = 90° бошад. Мувофиқи теоремаи 2.1 \(\angle\)(a1b) + \(\angle\)(a2b) = 180° ва (a2b) = 180° - \(\angle\)(a1b) = 180° - 90° = 90°. Яъне кунҷе, ки бо кунҷи рост ҳамсоя мебошад, кунҷи рост аст. Ана ҳамин исбот буд.

Саволи 6. Чӣ гуна кунҷҳоро кунҷҳои амудӣ меноманд?
Ҷавоб. Агар тарафҳои як кунҷ нимхатҳои рости пуркунандаи тарафҳои дигар кунҷ бошанд, он гоҳ ин ду кунҷро кунҷҳои амудӣ (вертикалӣ) меноманд. Дар расми б кунҷҳои (a1b1) ва (a2b2) кунҷҳои амудӣ мебошанд. Тарафҳои a2 ва b2 – кунҷи дуюм нимхатҳои рости пуркунандаи тарафҳои a1 ва b1 – и кунҷи якум мебошанд.


Расми б

Саволи 7. Исбот кунед, ки кунҷҳои амудӣ баробар мебошанд.
Ҷавоб. Теоремаи 2.2. Кунҷҳои амудӣ баробаранд.
Исбот. Фарз мекунем, ки (a1b1) ва (a2b2) кунҷҳои амудии додашуда мебошанд (расми б). Кунҷи (a1b2) бо кунҷи (a1b1) ва бо кунҷи (a2b2) ҳамсоя мебошад. Аз ин ҷо мувофиқи теоремаи ҳосили ҷамъи кунҷҳои ҳамсоя натиҷа мебарояд, ки ҳар яке аз кунҷҳои (a1b1) ва (a2b2) кунҷи (a1b2)-ро то 180° пурра мекунанд, яъне кунҷҳои (a1b1) ва (a2b2) баробаранд. Теорема исбот шуд.

Саволи 8. Исбот кунед, агар ҳангоми буриши ду хати рост яке аз кунҷҳо кунҷи рост бошад, он гоҳ се кунҷи боқимонда ҳам кунҷҳои рост мебошанд.
Ҷавоб. Бигзор:
- хатҳои рости AD ва BC якдигарро дар нуқтаи O буранд;
- нимхати рости OA ва нимхати рости OD нимхатҳои рости пуркунанда бошанд;
- нимхати рости OB ва нимхати рости OC нимхатҳои рости пуркунанда бошанд.
Нигаред ба расми зерин:

Бигзор \(\angle\)AOB – кунҷи рост бошад, яъне ба 90° баробар бошад. \(\angle\)AOC ба \(\angle\)AOB ҳамсоя мебошад, яъне ҳосили ҷамъи онҳо ба 180° баробар аст. Бинобар ин, \(\angle\)AOC = 180° - \(\angle\)AOB = 180° - 90° = 90°.
Азбаски \(\angle\)AOC ва \(\angle\)BOD – кунҷҳои амудӣ ҳастанд, пас мувофиқи теоремаи 2.2 \(\angle\)BOD = \(\angle\)AOC = 90°. Азбаски \(\angle\)AOB ва \(\angle\)COD – кунҷҳои амудӣ ҳастанд, пас мувофиқи теоремаи 2.2 \(\angle\)COD = \(\angle\)AOB = 90°. Яъне ҳар се кунҷҳои боқимонда ба 90° баробар ҳастанд. Аз рӯи таърифи кунҷҳои рост ин се кунҷи боқимонда – кунҷҳои рост мебошанд. Исбот шуд.

Саволи 9. Чӣ гуна хатҳои ростро хатҳои рости перпендикуляр меноманд? Барои ишорати перпендикулярии хатҳои рост кадом аломат истифода мешавад?
Ҷавоб. Агар ду хати рост дар таҳти кунҷи рост якдигарро буранд, он гоҳ ин хатҳои ростро хатҳои рости перпендикуляр меноманд (расми в). Перпендикулярии хатҳои рост бо аломати \(\perp\) ишорат карда мешавад. Навишти a\(\perp\)b чунин тавр хонда мешавад: «Хати рости a ба хати рости b перпендикуляр аст».

Расми в

Саволи 10. Исбот кунед, аз нуқтаи дилхоҳи хати рост хати рости ба он перпендикуляр гузаронидан мумкин аст, ва фақат якто.
Ҷавоб. Теоремаи 2.3. Аз ҳар як нуқтаи хати рост хати рости ба он перпендикуляр гузаронидан мумкин аст ва фақат якто.
Исбот. Фарз мекунем, ки a хати рости додашуда ва A нуқтаи дар он додашуда мебошад. Яке аз нимхатҳои рости хати рости a (ибтидоаш нуқтаи A) – ро бо a1 ишорат мекунем (расми г). Аз нимхати рости a1 кунҷи (a1b1) – и ба 90° баробарро ҷудо мекунем. Он гоҳ хати росте, ки нури b1 – ро дорад, бо хати рости a перпендикуляр мешавад. Фарз мекунем, ки хати рости дигар ҳам мавҷуд аст. Ин хати рост ҳам аз нуқтаи A мегузарад ва ба хати рости a пепендикуляр мебошад. Нимхати рости ин хати ростро, ки бо нури b1 дар як нимҳамворӣ воқеъ мебошанд, бо c1 ишорат мекунем. Кунҷҳои (a1b1) ва (a1c1), ки ҳар кадомашон ба 90° баробар аст, аз нимхати рости a1 дар як нимҳамворӣ кашида шудаанд. Лекин аз нимхати рости a1 дар нимҳамвории додашуда фақат як кунҷи ба 90° баробарро кашидан мумкин аст. Бинобар ин хати рости дигаре нест, ки аз нуқтаи A гузараду ба хати рости a перпендикуляр шавад. Теорема исбот шуд.


Расми г

Саволи 11. Перпендикуляр ба хати рост чист?
Ҷавоб. Порчаи хати росте, ки ба хати рости додашуда перпендикуляр асту охираш дар нуқтаи буриши онҳо воқеъ мебошад, перпендикуляри хати рости додашуда номида мешавад. Охири порча асоси перпендикуляр номида мешавад.

Саволи 12. Исбот аз баръаксаш чӣ маъно дорад?
Ҷавоб. Тарзи исботе, ки мо дар теоремаи 2.3 татбиқ кардем, исбот аз баръаксаш номида мешавад. Ин тарзи исбот чуни наст: мо аввал фарзе мекунем, ки ба тасдиқоти теорема баръакс аст. Баъд дар асоси аксиомаҳо ва теоремаҳои исботшуда бо роҳи муҳокимаронӣ ба хулосае меоем, ки он ё ба шарти теорема, ё ба яке аз аксиомаҳо, ё ба ба теоремаи пештар исботшуда муқобил аст. Дар асоси ин ба хулосае меоем, ки фарзи мо нодуруст аст, яъне тасдиқоти теорема дуруст аст.

Саволи 13. Биссектрисаи кунҷ чист?
Ҷавоб. Нуре, ки аз қуллаи кунҷ баромада, аз байни тарафҳои он мегузарад ва кунҷро ба ду қисми баробар тақсим мекунад, биссектрисаи кунҷ номида мешавад. Дар расми зерин мо кунҷи (ab)-ро мебинем.


Нури c аз қуллаи кунҷ баромада, аз байни тарафҳои он мегузарад ва кунҷро ба ду қисми баробар тақсим мекунад:
\(\angle(ac) = \angle(bc) = \frac{\angle(ab)}{2}\).

Мавод дар асоси китоби "Геометрия"-и математик А.В. Погорелов тартиб дода шудааст.