Ҷои №1 барои рекламаи шумо!

Барои робита: oftob.com@gmail.com

Ҳалли мисоли № 2 аз "Демидович Б. П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу"

№ 2. Методи индуксияи математикиро истифода бурда, исбот намоед, ки барои адади дилхоҳи натуралии \(n\) баробарии зерин дуруст аст:
\(1^2+2^2+ \dots +n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.\)
Ҳал. Ҳангоми \(n=1\) баробарӣ дуруст аст:
\(1^2=\frac{1 \cdot (1+1) \cdot (2 \cdot 1+1)}{6},\)
\(1=\frac{1 \cdot2 \cdot 3}{6},\)
\(1=1.\)
Акнун дурустии баробариро ҳангоми \(n=k\) (\(k\) - адади натуралӣ) фарз карда:
\(1^2+2^2+ \dots +k^2=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6},\)
дурустии онро ҳангоми \(n=k+1\) нишон медиҳем:
\(1^2+2^2+ \dots +k^2+(k+1)^2=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}+(k+1)^2=\)
\(=\frac{k(k+1)(2k+1)+6(k+1)^2}{6}=\frac{(k+1)(k(2k+1)+6(k+1))}{6}=\)
\(=\frac{(k+1)(2k^2+k+6k+6)}{6}=\frac{(k+1)(2k^2+4k+3k+6)}{6}=\)
\(=\frac{(k+1)(2k(k+2)+3(k+2))}{6}=\frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6},\)
яъне
\(1^2+2^2+ \dots +k^2+(k+1)^2=\frac{(k+1)((k+1)+1)(2(k+1)+1)}{6}.\)
Баробарӣ исбот шуд.