Ҷои №1 барои рекламаи шумо!

Барои робита: oftob.com@gmail.com

Ҳалли мисоли № 6 аз "Демидович Б. П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу"

№ 6. Нобаробарии Бернуллиро исбот намоед:
\((1+x_1)(1+x_2)...(1+x_n)\geq 1+x_1+x_2+...+x_n\),
ки дар ин ҷо \(x_1, x_2, ... x_n\) - ададҳои аломаташон якхелаи калон аз -1.

Ҳал. Ҳангоми \(n=1\) нобаробарӣ аён аст:
\(1+x_1\geq 1+x_1\)

Нобаробариро ҳангоми \(n=2\) месанчем:
\((1) \quad (1+x_1)(1+x_2)=1+x_2+x_1+x_1x_2=1+x_1+x_2+x_1x_2\)

Азбаски ададҳои \(x_1\) ва \(x_2\) аломати якхела доранд, пас
\(x_1\cdot x_2\geq 0\)
ва
\((2) \quad 1+x_1+x_2+x_1x_2\geq 1+x_1+x_2\)

Аз (1) ва (2) мебарояд, ки
\((1+x_1)(1+x_2)\geq 1+x_1+x_2\).
Яъне, ҳангоми \(n=2\) нобаробарӣ дуруст аст.

Тасаввур мекунем, ки ҳангоми \(n=k\) (\(k\) - адади натуралӣ) нобаробарӣ дуруст аст:
\((1+x_1)(1+x_2)...(1+x_k)\geq 1+x_1+x_2+...+x_k\)

Акнун дурустии онро ҳангоми \(n=k+1\) месанҷем. Азбаски мувофиқи шарти масъала \(x_{k+1}>-1\) аст, пас
\(1+x_{k+1}>0\)
ва
\(\begin{multline}
(3) \quad (1+x_1)(1+x_2)...(1+x_k)(1+x_{k+1})\geq\\ \geq(1+x_1+x_2+...+x_k)(1+x_{k+1})=\\
=1+x_1+x_2+...+x_k+x_{k+1}+x_{k+1}x_2+...+x_{k+1}x_k
\end{multline}\)

Азбаски ададҳои \(x_2, ..., x_{k+1}\) аломати якхела доранд, пас
\(x_{k+1}x_2\geq 0, ..., x_{k+1}x_k\geq 0\)
ва
\(\begin{multline}
(4) \quad 1+x_1+x_2+...+x_k+x_{k+1}+x_{k+1}x_2+...+x_{k+1}x_k\geq\\ \geq1+x_1+x_2+...+x_k+x_{k+1}
\end{multline}\)

Аз (3) ва (4) мебарояд, ки
\((1+x_1)(1+x_2)...(1+x_k)(1+x_{k+1})\geq 1+x_1+x_2+...+x_k+x_{k+1}\).

Нобаробарӣ исбот шуд.