Ҷои №1 барои рекламаи шумо!

Барои робита: oftob.com@gmail.com

Ҳалли мисоли № 7 аз "Демидович Б. П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу"

№ 7. Исбот кунед, ки агар \(x>-1\) бошад, он гоҳ нобаробарии зерин дуруст аст:
\((1+x)^n \geq 1+nx\quad (n>1)\);
илова бар ин, баробарӣ танҳо ҳангоми \(x=0\) будан ҷой дорад.

Ҳал. Барои \(x>-1\) ва \(x\neq 0\), методи индуксияи математикиро истифода бурда, нобаробарии қатъии зеринро исбот менамоем:
\((1) \quad (1+x)^n>1+nx \quad (n>1).\)

Ҳангоми \(n=2\) нобаробарии қатъӣ дуруст аст:
\((1+x)^2 = 1+2x+x^2 > 1+2x\),
чунки \(x^2>0\).

Бигзор ҳангоми \(n=k\) (\(k\) - адади натуралӣ) нобаробарии қатъӣ ҷой дошта бошад:
\((1+x)^k>1+kx\).

Акнун дурустии ин нобаробариро ҳангоми \(n=k+1\) исбот мекунем. Азбаски \(x>-1\) аст, пас \(1+x>0\) ва
\(\begin{multline}
(2) \quad (1+x)^{k+1}=(1+x)^k(1+x)>(1+kx)(1+x)=1+x+kx+kx^2=\\=1+(k+1)x+kx^2>1+(k+1)x.
\end{multline}\)
Дар (2) нобаробарии охирон дуруст аст, чунки \(kx^2>0\). Бинобар ин,
\((1+x)^{k+1}>1+(k+1)x\).
Яъне (1) барои ҳамаи \(x>-1\), ба ғайр аз нул, ҷой дорад.

Ҳангоми \(x=0\) нобаробарии зерин ҷой дорад:
\((1+0)^n=1^n=1=1+0=1+n\cdot0\),
\((1+0)^n=1+n\cdot0\).

Масъала пурра ҳал шуд.