Ҷои №1 барои рекламаи шумо!

Барои робита: oftob.com@gmail.com

Ҳалли мисоли № 9 аз "Демидович Б. П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу"

№ 9. Нобаробариро исбот кунед:
\((1) \quad 2!4!...(2n)!>[(n+1)!]^n\quad\text{ҳангоми}\quad n>1.\)

Ҳал. Нобаробариро ҳангоми \(n=2\) месанҷем:
\(2!4! = 1\cdot2\cdot1\cdot2\cdot3\cdot4 = 48\),
\([(2+1)!]^2 = [3!]^2 = 36\),
\(48 > 36\).
Ҳангоми \(n=2\) нобаробарӣ дуруст аст.

Тасаввур мекунем, ки ҳангоми \(n=k\) низ нобаробарӣ дуруст аст:
\((2) \quad 2!4!...(2k)!>[(k+1)!]^k\)
ва дурустии онро ҳангоми \(n=k+1\) нишон медиҳем. Яъне нобаробарии зеринро нишон медиҳем:
\((3) \quad 2!4!...(2k)!(2(k+1))!>[(k+2)!]^{k+1}.\)
Барои ифодаи дар тарафи рости нобаробарии (3) буда:
\((4) \quad [(k+2)!]^{k+1}=[(k+2)!]^k(k+2)!=[(k+1)!]^k(k+2)^k(k+2)!.\)
Барои \((2(k+1))!\) аз тарафи чапи (3):
\((2(k+1))!=(k+2)!(k+3)...(2k+1)(2k+2)\).
Ифодаи \((k+3)...(2k+1)(2k+2)\) аз \(2k+2-(k+2)=k\)-то зарбшаванда иборат аст, ки ҳар яки онҳо аз \(k+2\) калон ҳастанд. Бинобар ин,
\((5) \quad (2(k+1))!>(k+2)!(k+2)^k=(k+2)^k(k+2)!\)
Аз нобаробариҳои (2) ва (5) ва баробарии (4) ҳосил менамоем:
\(\begin{multline}
2!4!...(2k)!(2(k+1))!>[(k+1)!]^k(2(k+1))!>\\
>[(k+1)!]^k(k+2)^k(k+2)!=[(k+2)!]^{k+1}
\end{multline}\).

Нобаробарии (3) дуруст аст.

Нобаробарии (1) исбот шуд.

Масъала ҳал шуд.