Ҷои №1 барои рекламаи шумо!

Барои робита: oftob.com@gmail.com

Ҳалли мисоли № 10 аз "Демидович Б. П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу"

№ 10. Нобаробариро исбот кунед:
\((1) \quad \frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}...\frac{2n-1}{2n}<\frac{1}{\sqrt{2n+1}}\).

Ҳал. Пеш аз оғоз намудани исботи ин нобаробарӣ хосияти зерини ададҳои ҳақиқиро нишон медиҳем.

Бигзор \(0<a<1\) бошад, он гоҳ \(\sqrt{a}<1\).

Дар ҳақиқат, агар ишора кунем, ки \(\sqrt{a}=c\), он гоҳ
\(c^2=a\),
\(c^2<1\),
\(c^2-1<0\),
\((*) \quad (c+1)(c-1)<1\).
Азбаски \(c>0\), пас \(c+1>0\) ва нобаробарии (*) танҳо дар ҳолати \(c-1<0\) иҷро мешавад. Аз ин ҷо \(c<1\) ва \(\sqrt{a}<1\).

Хосият исбот шуд.

Барои исботи нобаробарии (1) аз методи индуксияи математикӣ истифода мебарем.

Нишон медиҳем, ки ҳангоми \(n=1\) нобаробарӣ дуруст аст. Аён аст, ки \(\sqrt{3}<2\). Ҳар ду тарафи ин нобаробариро ба \(2\sqrt{3}\) тақсим намуда, ҳосил менамоем:
\(\frac{1}{2}<\frac{1}{\sqrt{3}}\).
Нобаробарии (1) ҳангоми \(n=1\) дуруст аст.

Акнун тасаввур мекунем, ки нобаробарии (1) ҳангоми \(n=k\) дуруст аст:
\((2) \quad \frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}...\frac{2k-1}{2k}<\frac{1}{\sqrt{2k+1}}\).
ва нишон медиҳем, ки он ҳангоми \(n=k+1\) низ ҷой дорад. Яъне дурустии нобаробарии зеринро нишон додан зарур аст:
\(\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}...\frac{2k-1}{2k}\cdot\frac{2(k+1)-1}{2(k+1)}<\frac{1}{\sqrt{2(k+1)+1}}\)
ё ки
\((3) \quad \frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}...\frac{2k-1}{2k}\cdot\frac{2k+1}{2k+2}<\frac{1}{\sqrt{2k+3}}\).

Аз (2) мебарояд, ки
\(\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}...\frac{2k-1}{2k}\cdot\frac{2k+1}{2k+2}<\frac{1}{\sqrt{2k+1}}\cdot\frac{2k+1}{2k+2}=\frac{\sqrt{2k+1}}{2k+2}\),
ки дар ин ҷо
\(\frac{\sqrt{2k+1}}{2k+2}=\frac{1}{\sqrt{2k+3}}\cdot\frac{\sqrt{2k+3}\cdot\sqrt{2k+1}}{2k+2}=
\frac{1}{\sqrt{2k+3}}\cdot\sqrt{\frac{(2k+3)(2k+1)}{(2k+2)^2}}=\)
\(=\frac{1}{\sqrt{2k+3}}\cdot\sqrt{\frac{4k^2+8k+3}{4k^2+8k+4}}<\frac{1}{\sqrt{2k+3}}\).
Дар ин ҷо нобаробарии охирон аз хосияти ададҳои ҳақиқии дар боло исботшуда мебарояд.

Здесь последнее неравенство вытекает из доказанного выше свойства действительных чисел. Бинобар ин, нобаробарии (3) дуруст аст.

Нобаробарии (1) исбот шуд.