Ҷои №1 барои рекламаи шумо!

Барои робита: oftob.com@gmail.com

Ҳалли мисоли № 10.1.a аз "Демидович Б. П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу"

№ 10.1. a) Нобаробариро исбот кунед:
\((1) \quad 1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}>\sqrt{n} \quad (n \geq 2) \).

Ҳал. Пеш аз оғоз намудани исботи нобаробарии додашуда хосияти зерини ададҳои ҳақиқиро нишон медиҳем.

Бигзор \(x\) ва \(y\) - ду адади ҳақиқие бошанд, ки \(0<x<y\). Пас \(\sqrt{x}<\sqrt{y}\).

Дар ҳақиқат,

\( 0<x<y \Leftrightarrow 0<\frac{x}{y}<1 \Leftrightarrow 0<\sqrt{\frac{x}{y}}<1 \Leftrightarrow 0<\sqrt{x}<\sqrt{y} \).

Хосият исбот шуд.

Барои исботи нобаробарии (1) аз методи индуксияи математикӣ истифода мебарем. Нишон медиҳем, ки ҳангоми \(n=2\) будан нобаробарии (1) дуруст аст.

\(1+\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}}>\frac{1+1}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\),

\(1+\frac{1}{\sqrt{2}}>\sqrt{2}\).

Яъне ҳангоми \(n=2\) будан нобаробарии (1) дуруст аст.

Акнун тасаввур мекунем, ки нобаробарии (1) барои \(n=k\) дуруст аст:

\(1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{k}}>\sqrt{k}\)

ва нишон медиҳем, ки он ҳангоми \(n=k+1\) низ ҷой дорад:
\(\begin{multline}
1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{k}}+\frac{1}{\sqrt{k+1}}> \sqrt{k}+\frac{1}{k+1}=\\
\frac{\sqrt{k}\sqrt{k+1}+1}{\sqrt{k+1}}>\frac{\sqrt{k}\sqrt{k}+1}{\sqrt{k+1}}=\frac{k+1}{\sqrt{k+1}}=\sqrt{k+1}.
\end{multline}\)
Дар ин ҷо нобаробарии охирон аз хосияти ададҳои ҳақиқие, ки болотар нишон додем, ҳосил мешавад.

Нобаробарии (1) исбот шуд.