Ҷои №1 барои рекламаи шумо!

Барои робита: oftob.com@gmail.com

Ҳалли мисоли № 10.1.б аз "Демидович Б. П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу"

№ 10.1. б) Нобаробариро исбот кунед:
\((1) \quad n^{n+1}>(n+1)^n \quad (n \geq 3) \).

Ҳал. Барои исботи нобаробарии (1) методи индуксияи математикиро истифода мебарем.

Месанҷем, ки ҳангоми \(n=3\) нобаробарии (1) дуруст аст. Дар ҳақиқат:

\(3^4=81>4^3=64\).

Акнун тасаввур мекунем, ки нобаробарии (1) ҳангоми \(n=k\) дуруст аст:

\((2) \quad k^{k+1}>(k+1)^k\)

ва нишон медиҳем, ки он ҳангоми \(n=k+1\) низ дуруст аст:

\((3) \quad (k+1)^{k+2}>(k+2)^{k+1}\)

Ҳар ду тарафи нобаробарии (2)-ро ба \(\frac{(k+1)^{k+2}}{k^{k+1}}\) зарб мезанем:
\(k^{k+1}\cdot\frac{(k+1)^{k+2}}{k^{k+1}}>(k+1)^k\cdot\frac{(k+1)^{k+2}}{k^{k+1}}\),
яъне
\(\begin{multline}
(k+1)^{k+2}>(k+1)^k\cdot\frac{(k+1)^{k+2}}{k^{k+1}}=\frac{(k+1)^{2k+2}}{k^{k+1}}=\\
\frac{((k+1)^{2})^{k+1}}{k^{k+1}}={\left(\frac{k^2+2k+1}{k}\right)}^{k+1}={\left(k+2+\frac{1}{k}\right)}^{k+1}>\\
>(k+2)^{k+1}.
\end{multline}\)
Нобаробарии (3) дуруст аст.

Нобаробарии (1) исбот шуд.