Ҷои №1 барои рекламаи шумо!

Барои робита: oftob.com@gmail.com

Ҳалли мисоли № 10.1.в аз "Демидович Б. П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу"

№ 10.1. в) Нобаробариро исбот кунед:
$$(1) \quad \left|\sin\left(\sum\limits_{k=1}^nx_k\right)\right| \leq \sum\limits_{k=1}^n\sin x_k \quad (0 \leq x_k \leq \pi; \quad k=1,2, ..., n).$$

Ҳал. Барои исбот намудани нобаробарии (1) аз методи индуксияи математикӣ истифода мебарем.

Нишон медиҳем, ки ҳангоми \(n=1\) нобаробарии (1) дуруст аст. Барои дилхоҳ \(x \in [0;\pi]\) қимати \(\sin x \geq 0\) аст, яъне \( \left|\sin x \right| = \sin x\). Бинобар ин,

\((2) \quad \left|\sin x_1 \right| \leq \sin x_1 \quad (0 \leq x_1 \leq \pi)\).

Яъне ҳангоми \(n=1\) нобаробарии (1) дуруст аст.

Акнун фарз мекунем, ки нобаробарии (1) ҳангоми \(n=m\) дуруст аст:
\((3) \quad \left|\sin\left(\sum\limits_{k=1}^mx_k\right)\right| \leq \sum\limits_{k=1}^m\sin x_k \quad (0 \leq x_k \leq \pi; \quad k=1,2, ..., m).\)

ва нишон медиҳем, ки он ҳангоми \(n=m+1\) низ дуруст мешавад:
\((4) \quad \left|\sin\left(\sum\limits_{k=1}^{m+1}x_k\right)\right| \leq \sum\limits_{k=1}^{m+1}\sin x_k \quad (0 \leq x_k \leq \pi; \quad k=1,2, ..., m+1).\)

Азбаски \(\sum\limits_{k=1}^{m+1}x_k = \sum\limits_{k=1}^{m}x_k + x_{m+1}\), пас аз формулаи синуси суммаи ду кунҷ истифода бурда:
\(\sin(x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y\),
ҳосил мекунем:
\(\begin{multline}
(5) \quad \left|\sin\left(\sum\limits_{k=1}^{m+1}x_k\right)\right| = \left|\sin\left(\sum\limits_{k=1}^{m}x_k + x_{m+1}\right)\right| =\\
\left|\sin\left(\sum\limits_{k=1}^{m}x_k\right) \cdot \cos x_{m+1} + \cos\left(\sum\limits_{k=1}^{m}x_k\right) \cdot \sin x_{m+1}\right| \leq \\
\left|\sin\left(\sum\limits_{k=1}^{m}x_k\right) \cdot \cos x_{m+1}\right| + \left|\cos\left(\sum\limits_{k=1}^{m}x_k\right) \cdot \sin x_{m+1}\right| =\\
\left|\sin\left(\sum\limits_{k=1}^{m}x_k\right)\right| \cdot \left|\cos x_{m+1}\right| + \left|\cos\left(\sum\limits_{k=1}^{m}x_k\right)\right| \cdot \left|\sin x_{m+1}\right| \leq\\
\left|\sin\left(\sum\limits_{k=1}^{m}x_k\right)\right| \cdot 1 + 1 \cdot \left|\sin x_{m+1}\right|=
\left|\sin\left(\sum\limits_{k=1}^{m}x_k\right)\right| + \left|\sin x_{m+1}\right| \leq \\
\sum\limits_{k=1}^m\sin x_k + \sin x_{m+1} = \sum\limits_{k=1}^{m+1}\sin x_k.
\end{multline}\)

Дар (5) чунин хосиятҳои ададҳои ҳақиқӣ истифода шудаанд:
\(|x+y| \leq |x| + |y|\)
ва
\(|x \cdot y| = |x| \cdot |y|\).

Нобаробарии охирон дар (5) дуруст аст бо назардошти фарзи (3) ва хосияти (2).

Аз (5) дурустии (4) мебарояд.

Нобаробарии (1) исбот шуд.