Ҷои №1 барои рекламаи шумо!

Барои робита: oftob.com@gmail.com

Ҳалли мисоли № 10.1.г аз "Демидович Б. П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу"

№ 10.1.г) Нобаробариро исбот кунед:
\((1) \quad (2n)!<2^{2n}(n!)^2.\)

Ҳал. Барои исботи нобаробарии (1) аз методи индуксияи математикӣ истифода мебарем.

Ҳангоми \(n=1\) нобаробарии (1) дуруст аст:
\((2 \cdot 1)!=2<2^{2 \cdot 1}(1!)^2=2^2 \cdot 1^2=4\).

Акнун тасаввур мекунем, ки нобаробарии (1) ҳангоми \(n=k\) дуруст аст:
\((2k)!<2^{2k}(k!)^2\)
ва нишон медиҳем, ки он ҳангоми \(n=k+1\) низ дуруст аст :
\(\begin{multline}
(2(k+1))!=(2k)!(2k+1)(2k+2)<2^{2k}(k!)^2(2k+1)(2k+2)<\\
2^{2k}(k!)^2(2k+2)(2k+2)=2^{2k}(k!)^2 \cdot 4(k+1)^2=\\
2^{2k+2}(k!)^2(k+1)^2=2^{2(k+1)}((k+1)!)^2.
\end{multline}\)

Бинобар ин
\((2(k+1))!<2^{2(k+1)}((k+1)!)^2\).

Нобаробарии (1) исбот шуд.