Ҷои №1 барои рекламаи шумо!

Барои робита: oftob.com@gmail.com

Ҳалли мисоли № 5 аз "Демидович Б. П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу"

№ 5. Бигзор \(a^{[n]}=a(a-h) \dots [a-(n-1)h]\) ва \(a[0]=1\).

Исбот намоед, ки
\((a+b)^{[n]}=\sum_{m=0}^{n}C_{n}^{m}a^{[n-m]}b^{[m]}\),
ки дар ин ҷо \(C_{n}^{m}\) - миқдори пайвастакуниҳо (комбинатсияҳо) аз \(n\) элемент \(m\)-тогӣ. Аз ин формулаи биноми Нютонро ҳосил намоед.

Ҳал. Ёдрас мекунем, ки \(C_{n}^{m}=\frac{n!}{m!(n-m)!}\) и \(n!=1 \cdot 2 \cdot . . . \cdot n\).

Баробарӣ ҳангоми \(n=1\) дуруст аст:
\(\sum_{m=0}^{1}C_{1}^{m}a^{[1-m]}b^{[m]}=\)
\(C_{1}^{0}a^{[1]}b^{[0]}+C_{1}^{1}a^{[0]}b^{[1]}=a+b=(a+b)^{[1]}\)

Фарз мекунем, ки ҳангоми \(n=k\) (\(k\) - адади натуралӣ) нобаробарӣ дуруст аст:
\((a+b)^{[k]}=\sum_{m=0}^{k}C_{k}^{m}a^{[k-m]}b^{[m]}\)
ва дурустии онро ҳангоми \(n=k+1\) нишон медиҳем:
\((a+b)^{[k+1]}=(a+b)^{[k]}\cdot(a+b-kh)=\)
\((\sum_{m=0}^{k}C_{k}^{m}a^{[k-m]}b^{[m]})\cdot(a+b-kh)=\)
\(=(C_{k}^{0}a^{[k]}b^{[0]}+C_{k}^{1}a^{[k-1]}b^{[1]}+ \dots +C_{k}^{k-1}a^{[1]}b^{[k-1]}+C_{k}^{k}a^{[0]}b^{[k]})\cdot(a+b-kh)=\)
\(=C_{k}^{0}a^{[k]}b^{[0]}(a+b-kh)+C_{k}^{1}a^{[k-1]}b^{[1]}(a+b-kh)+ \dots +C_{k}^{k-1}a^{[1]}b^{[k-1]}(a+b-kh)+\)
\(+C_{k}^{k}a^{[0]}b^{[k]}(a+b-kh)=\)
\(=C_{k}^{0}a^{[k]}b^{[0]}(a-kh+b)+C_{k}^{1}a^{[k-1]}b^{[1]}(a-(k-1)h+b-h)+ \dots +\)
\(+C_{k}^{k-1}a^{[1]}b^{[k-1]}(a-h+b-(k-1)h)+C_{k}^{k}a^{[0]}b^{[k]}(a+b-kh)=\)
\(=C_{k}^{0}a^{[k]}b^{[0]}(a-kh)+C_{k}^{0}a^{[k]}b^{[0]}b+C_{k}^{1}a^{[k-1]}b^{[1]}(a-(k-1)h)+C_{k}^{1}a^{[k-1]}b^{[1]}(b-h)+ \dots +\)
\(+C_{k}^{k-1}a^{[1]}b^{[k-1]}(a-h)+C_{k}^{k-1}a^{[1]}b^{[k-1]}(b-(k-1)h)+C_{k}^{k}a^{[0]}b^{[k]}a+C_{k}^{k}a^{[0]}b^{[k]}(b-kh)=\)
\(=C_{k}^{0}a^{[k+1]}b^{[0]}+C_{k}^{0}a^{[k]}b^{[1]}+C_{k}^{1}a^{[k]}b^{[1]}+C_{k}^{1}a^{[k-1]}b^{[2]}+ \dots +\)
\(+C_{k}^{k-1}a^{[2]}b^{[k-1]}+C_{k}^{k-1}a^{[1]}b^{[k]}+C_{k}^{k}a^{[1]}b^{[k]}+C_{k}^{k}a^{[0]}b^{[k+1]}=\)
\(=C_{k+1}^{0}a^{[k+1]}b^{[0]}+C_{k+1}^{1}a^{[k]}b^{[1]}+ \dots +C_{k+1}^{k}a^{[1]}b^{[k]}+C_{k+1}^{k+1}a^{[0]}b^{[k+1]}=\)
\(=\sum_{m=0}^{k+1}C_{k+1}^{m}a^{[k+1-m]}b^{[m]},\)
т.е.
\((a+b)^{[k+1]}=\sum_{m=0}^{k+1}C_{k+1}^{m}a^{[k+1-m]}b^{[m]},\)

Баробарӣ исбот шуд.

Аз баробарии исботшуда ҳангоми \(h=1\) биноми Нютон ҳосил мешавад.

Қайд намудан лозим аст, ки дар рафти исбот баробариҳои зерин истифода шудаанд:
\(C_{n}^{0}=C_{n+1}^{0}=C_{n}^{n}=C_{n+1}^{n+1}=1,\)
\(C_{n+1}^{m+1}=C_{n}^{m}+C_{n}^{m+1}.\)