Ҷои №1 барои рекламаи шумо!

Барои робита: oftob.com@gmail.com

Ҳалли мисоли № 4 аз "Демидович Б. П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу"

№ 4. Методи индуксияи математикиро истифода намуда, исбот кунед, ки барои адади дилхоҳи натуралии \(n\) баробарии зерин дуруст аст:
\(1+2+2^2+ \dots +2^{n-1}=2^n-1\).
Ҳал. Ҳангоми \(n=1\) баробарӣ дуруст аст:
\(2^0=2^1-1\),
\(1=2-1\),
\(1=1\).

Акнун тасаввур мекунем, ки баробари барои \(n=k\) (\(k\) - адади натуралӣ) дуруст аст:
\(1+2+2^2+ \dots +2^{k-1}=2^k-1\),
ва дурустии онро барои \(n=k+1\) нишон медиҳем:
\(1+2+2^2+ \dots +2^{k-1}+2^k=2^k-1+2^k=2 \cdot 2^k-1=2^{k+1}-1\),
яъне
\(1+2+2^2+ \dots +2^{k-1}+2^k=2^{k+1}-1\).

Баробарӣ исбот шуд.