Ҷои №1 барои рекламаи шумо!

Барои робита: oftob.com@gmail.com

Ҳалли мисоли № 3 аз "Демидович Б. П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу"

№ 3. Методи индуксияи математикиро истифода бурда, исбот намоед, ки барои адади дилхоҳи натуралии \(n\) баробарии зерин дуруст аст:
\(1^3+2^3+ \dots +n^3=(1+2+ \dots +n)^2\).
Ҳал. Ҳангоми \(n=1\) баробарӣ дуруст аст:
\(1^3=1^2,\)
\(1=1.\)
Акнун дурустии баробариро ҳангоми \(n=k\) (\(k\) - адади натуралӣ) фарз карда:
\(1^3+2^3+ \dots +k^3=(1+2+ \dots +k)^2,\)
дурустии онро ҳангоми \(n=k+1\) нишон медиҳем:
\((1+2+ \dots +k+(k+1))^2=(1+2+ \dots +k)^2+2(1+2+ \dots +k)(k+1)+(k+1)^2=\)
\(=1^3+2^3+ \dots +k^3+2 \cdot \frac{k(k+1)}{2} \cdot (k+1)+(k+1)^2=\)
\(1^3+2^3+ \dots +k^3+k(k+1)^2+(k+1)^2=\)
\(=1^3+2^3+ \dots +k^3+(k+1)^2 \cdot (k+1)=\)
\(=1^3+2^3+ \dots +k^3+(k+1)^3,\)
т.е.
\(1^3+2^3+ \dots +k^3+(k+1)^3=(1+2+ \dots +k+(k+1))^2.\)
Баробарӣ исбот шуд.