Ҷои №1 барои рекламаи шумо!

Барои робита: oftob.com@gmail.com


Ҷамъшавандаи сеюми ифодаи \((2x+\frac{1}{x^2})^m\) \(x\) надорад. Барои кадом қиматҳои \(x\) ин ҷамъшаванда ба ҷамъшавандаи дуюми ифодаи \((1+x^3)^{30}\) баробар мешавад?
Ҳал.
Мувофиқи таъриф \(T_{k+1}=C_n^k\cdot a^{n-k}\cdot b^k\).
Пас, \(T_3 = T_{2+1}=C_m^2\cdot (2x)^{m-2}\cdot (\frac{1}{x^2})^2=\)
\(=C_m^2\cdot 2^{m-2}\cdot x^{m-2}\cdot \frac{1}{x^4}\). Аз шарти масъала маълум аст, ки ҷамъшавандаи сеюми ифодаи \((2x+\frac{1}{x^2})^m\) \(x\) надорад, яъне, дар ҳолати зерин \(x^{m-2}\cdot \frac{1}{x^4}=1\) мешавад.
Муодилаи ҳосилшударо ҳал мекунем ва қимати \(m\)-ро меёбем:
\(x^{m-2}\cdot \frac{1}{x^4}=1\)
\(x^{m-2}=x^4\)
\(m-2=4\Rightarrow m=6\).
Аз ин ҷо мебарояд, ки \(T_3=C_m^2\cdot 2^{m-2}\cdot x^{m-2}\cdot \frac{1}{x^4}=C_6^2\cdot 2^4\cdot x^4\cdot \frac{1}{x^4}=\)
\(=C_6^2\cdot 16\).
Аз рӯйи таъриф \(C_n^m = \frac{n!}{(n - m)! m!}\), ки дар инҷо \(m \leq n\); \(C_n^0 = 1\).
Яъне, \(C_6^2=\frac{6!}{(6-2)!2!}=\frac{6\cdot5\cdot4!}{4!\cdot2!}=\frac{6\cdot5}{2}=15\Rightarrow\)
\(\Rightarrow T_3=15\cdot16=240\).
\(T_2=T_{1+1}=C_{30}^1\cdot 1^{30-1}\cdot (x^3)^1=C_{30}^1\cdot x^3\).
\(C_{30}^1=\frac{30!}{(30-1)!1!}=\frac{30\cdot29!}{29!\cdot1}=\frac{30}{1}=30\Rightarrow\)
\(\Rightarrow T_2=30\cdot x^3\).

\(240=30\cdot x^3\)
\(x^3=240:30\)
\(x^3=8\Rightarrow x=2\).
Ҷавоб: \(x=2\).