Чоп кардан
Бахш: Комбинаторика ва биноми Нютон
Миқдори намоиш: 730
Нравится

Бигзор маҷмӯи иборат аз n элемент дода шудааст. Ҳар як зермаҷмӯи батартибовардашудаи ин маҷмӯъ, ки аз k элемент иборат аст, ҷойгиркунӣ аз n элемент k-тогӣ номида мешавад. Ҷойгиркунӣ бо ҳарфи A-и лотинӣ ишора карда мешавад.

Бе такроршавӣ: $$A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}.$$ Бо такроршавӣ: $$\overline{A}_n^k=n^k$$

\(\textbf{Ин формулаҳоро исбот мекунем:}\)

\(\textbf{Намуна:}\)


Дар аввал ҷойгиркунӣ бо такроршавиро исбот мекунем:

Бигзор$$A=\{a_1,a_2,...,a_n\}.$$

Мо бояд миқдори ҳамаи зермаҷмӯи батартибовардашудаи ин маҷмӯъ, ки аз k элемент иборат аст, ёбем. Аз рӯи қоидаи зарб:

1. \(A_1=A=\{a_1,a_2,...,a_n\}\)

2. \(A_2=A=\{a_1,a_2,...,a_n\}\)

3. \(A_3=A=\{a_1,a_2,...,a_n\}\)

\(...\)

k. \(A_k=A=\{a_1,a_2,...,a_n\}\)

Миқдори тарзҳои интихоб намудани як ҷузъ аз маҷмӯи \(A_1\), пас аз он интихоб намудани як ҷузъ аз маҷмӯи \(A_2\),...,пас аз он интихоб намудани як ҷузъ аз маҷмӯи \(A_k\) ба \(n\cdot n\cdot n\cdot n\cdot...\cdot n=n^k\) баробар аст. Яъне миқдори ҳамаи зермаҷмӯи батартибовардашудаи ин маҷмӯъ, ки аз k элемент иборат аст ба \(n^k\) баробар аст, яъне формулаи ҷойгиркунӣ бо такроршавӣ исбот шуд.


Акнун формулаи ҷойгиркунӣ бе такроршавиро исбот мекунем:

\(n! = n\cdot(n-1)!, \quad0! = 1.\)

Бигзор\(A=\{a_1,a_2,...,a_n\}.\)

Мо бояд миқдори ҳамаи зермаҷмӯи батартибовардашудаи ин маҷмӯъ, ки аз k элемент иборат аст, ёбем. Аз рӯи қоидаи зарб:

1. \(A_1=A=\{a_1,a_2,...,a_n\}, |A_1| = n\)

2. \(A_2=A=\{a_1,a_2,...,a_n\}, |A_2| = n-1\)

3. \(A_3=A=\{a_1,a_2,...,a_n\}, |A_3| = n-2\)

\(...\)

k. \(A_k=A=\{a_1,a_2,...,a_n\}, |A_k| = n-(k-1)=n-k+1\)

Миқдори тарзҳои интихоб намудани як ҷузъ аз маҷмӯи \(A_1\), пас аз он интихоб намудани як ҷузъ аз маҷмӯи \(A_2\),...,пас аз он интихоб намудани як ҷузъ аз маҷмӯи \(A_k\) ба $$n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot...\cdot (n-k+1)=$$$$=\frac{n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot...\cdot (n-k+1)\cdot(n-k)!}{(n-k)!}=$$$$=\frac{n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot...\cdot(n-k+1)!}{(n-k)!}=$$$$=...=$$$$=\frac{n\cdot (n-1)!}{(n-k)!}=\frac{n!}{(n-k)!}$$ баробар аст. Яъне миқдори ҳамаи зермаҷмӯи батартибовардашудаи ин маҷмӯъ, ки аз k элемент иборат аст ба \(\frac{n!}{(n-k)!}\) баробар аст, яъне формулаи ҷойгиркунӣ бе такроршавӣ низ исбот шуд.

\(\textbf{Намуна:}\)

\(\textbf{Шарт:}\)

Хусрав, Ҷовид, Фарҳод ва Амир ба кинотеатр омаданд. Лекин дар кинотеатр ҳамагӣ се ҷои нишаст (1, 2, 3) холӣ буду халос. Барои ҳамин танҳо сетои онҳо метавонанд чипта харанд. Миқдори тарзҳои харидани чиптаҳоро ёбед.

\(\textbf{Ҳал:}\)

\(A = \{Хусрав, Ҷовид, Фарҳод, Амир\}\)

1. \(\{\)Хусрав, Ҷовид, Фарҳод\(\}\)

2. \(\{\)Хусрав, Фарҳод, Ҷовид\(\}\)

3. \(\{\)Ҷовид, Хусрав, Фарҳод\(\}\)

4. \(\{\)Ҷовид, Фарҳод, Хусрав\(\}\)

5. ... 

Барои ҳисоб кардани миқдори тарзҳои харидани чиптаҳо ҷойгиркуниро истифода мебарем:

$$ A_4^3=\frac{4!}{(4-3)!}=\frac{4!}{1}=4\cdot3\cdot2\cdot1=24$$

\(\textbf{Ҷавоб:}\) Миқдори тарзҳои харидани чиптаҳо ба 24 баробар аст.