Чоп кардан
Бахш: Муодилаҳои квадратӣ, сеаъзогии квадратӣ
Миқдори намоиш: 1968
Нравится

Муодилаи

\[(x^2 - 5x)^2 - 30(x^2 - 5x) - 216 = 0 \qquad (1)\]

-ро ҳал менамоем. Агар қисми чапи ин муодиларо ба бисёраъзогии намудаш стандартӣ табдил диҳем:

\(\begin{multline}
(x^2 - 5x)^2 - 30(x^2 - 5x) - 216 = x^4 -10x^3 + 25x^2 - 30x^2 + 150x - 216 = \\
= x^4 - 10x^3 -5x^2 + 150x - 216,
\end{multline}\)

муодилаи

\[x^4 - 10x^3 -5x^2 + 150x - 216 = 0\]

ҳосил мешавад, ки тарзи ҳалли онро ёфтан мушкил аст.

Муодилаи (1)-ро бо ёрии ҷорӣ кардани тағйирёбандаи нав ҳал менамоем.

\(x^2 - 5x\)-ро бо \(y\) ишорат менамоем:

\[x^2 - 5x = y.\]

Он гоҳ муодилаи (1) ба муодилаи квадратии дорои тағйирёбандаи \(y\) оварда мешавад:

\[y^2 - 30y - 216 = 0. \qquad (2)\]

Муодилаи (2)-ро бо методи дискриминант ҳал мекунем.

Намуди умумии муодилаи квадратӣ:

\[ay^2+by+c=0.\]

Барои муодилаи (2): \(a=1, b=-30, c=-216\).

Дискриминантро меёбем:

\[D=b^2-4ac=(-30)^2-4 \cdot 1 \cdot (-216) = 900 + 864 = 1764 > 0.\]

Азбаски D>0, пас муодилаи додашуда ду решаи ҳақиқӣ дорад, ки аз рӯи формулаи зерин ҳисоб мешаванд:

\[y_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-30) \pm \sqrt{1764}}{2\cdot 1} = \frac{30 \pm 42}{2} = 15 \pm 21.\]

Яъне,

\(y_1=15-21=-6\).

\(y_2=15+21=36\).

Аз ин ҷо

\(x^2 - 5x = -6\)

ё

\(x^2 - 5x = 36\).

Муодилаи \(x^2 - 5x + 6 = 0\)-ро бо методи дискриминант ҳал мекунем.

Барои ин муодила: \(a=1, b=-5, c=6\).

Дискриминантро меёбем:

\[D=b^2-4ac=(-5)^2-4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1 > 0.\]

Азбаски D>0, пас муодилаи додашуда ду решаи ҳақиқӣ дорад, ки аз рӯи формулаи зерин ҳисоб мешаванд:

\[x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-5) \pm \sqrt{1}}{2\cdot 1} = \frac{5 \pm 1}{2}.\]

Яъне,

\[x_{1} = \frac{5 - 1}{2} = 2.\]

\[x_{2} = \frac{5 + 1}{2} = 3.\]

Муодилаи \(x^2 - 5x - 36 = 0\)-ро бо методи дискриминант ҳал мекунем.

Барои ин муодила: \(a=1, b=-5, c=-36\).

Дискриминантро меёбем:

\[D = b^2-4ac = (-5)^2-4 \cdot 1 \cdot (-36) = 25 + 144 = 169 > 0.\]

Азбаски D>0, пас муодилаи додашуда ду решаи ҳақиқӣ дорад, ки аз рӯи формулаи зерин ҳисоб мешаванд:

\[x_{3,4}=\frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-5) \pm \sqrt{13}}{2\cdot 1} = \frac{5 \pm 13}{2}.\]

Яъне,

\[x_{3} = \frac{5 - 13}{2} = -4.\]

\[x_{4} = \frac{5 + 13}{2} = 9.\]

Пас, муодилаи (1) чор реша дорад, яъне

\[x_1 = 2, \quad x_2 = 3, \quad x_3 = -4, \quad x_4 = 9.\]

 

Санҷиш.

\(\begin{multline}
1. \quad (2^2 - 5\cdot 2)^2 - 30\cdot (2^2 - 5\cdot 2) - 216 = (4-10)^2 - 30\cdot (4-10) - 216 = \\
= 36 + 180 - 216 = 0.
\end{multline}\)

\(\begin{multline}
2. \quad (3^2 - 5\cdot 3)^2 - 30\cdot (3^2 - 5\cdot 3) - 216 = (9-15)^2 - 30\cdot (9-15) - 216 = \\
= 36 + 180 - 216 = 0.
\end{multline}\)

\(\begin{multline}
3. \quad ((-4)^2 - 5\cdot (-4))^2 - 30\cdot((-4)^2 - 5\cdot (-4)) - 216 = \\
= (16+20)^2 - 30\cdot (16+20) - 216 = 1296 - 1080 - 216 = 0.
\end{multline}\) 

\(\begin{multline}
4. \quad (9^2 - 5\cdot 9)^2 - 30\cdot (9^2 - 5\cdot 9) - 216 = \\
= (81-45)^2 - 30\cdot (81-45) - 216 = 1296 - 1080 - 216 = 0.
\end{multline}\)