Чоп кардан
Бахш: Назарияи пайдарпаиҳо (ҳудуди пайдарпаӣ)
Миқдори намоиш: 755
Нравится

Масъалаи № 41. Бигзор

\(x_n = \frac{n}{n+1}\quad (n = 1, 2, ...)\)

бошад.

Исбот карда шавад, ки

\(\lim\limits_{n\to\infty}x_n = 1\)

аст, тавассути барои ҳар як \(\varepsilon > 0\) адади \(N = N(\varepsilon)\)-ро муайян кардан, ки

\(|x_n - 1| < \varepsilon\), агар \(n > N\) бошад.

Ҷадвали зерин пур карда шавад:

\(\varepsilon\) 0,1 0,01 0,001 0,0001
\(N\)

Ҳал.

\(|x_n - 1| < \varepsilon\)

\(-\varepsilon < x_n - 1 < \varepsilon\)

\(-\varepsilon < \frac{n}{n+1} - 1 < \varepsilon\)

\(-\varepsilon < \frac{n - (n+1)}{n+1} < \varepsilon\)

\(-\varepsilon < \frac{-1}{n+1} < \varepsilon\)

\(-\varepsilon < \frac{1}{n+1} < \varepsilon\)

Яъне, адади \(N = N(\varepsilon)\)-ро чунин интихоб кардан зарур аст, ки барои \(n > N\) ду нобаробарии зерин иҷро шавад

\((1)\quad\frac{1}{n+1} > -\varepsilon\)

ва

\((2)\quad\frac{1}{n+1} < \varepsilon\).

Азбаски \(\varepsilon > 0\), пас барои дилхоҳ адади натуралии \(n = 1, 2, ...\)

\(\frac{1}{n+1} > 0 > -\varepsilon\).

Пас, агар барои ягон адади натуралии \(N\)

\(\frac{1}{N+1} < \varepsilon\)

\(\frac{1}{\varepsilon} < N+1\)

Аз ин ҷо ҳосил мешавад, ки агар \(N = [\frac{1}{\varepsilon}]\) бошад, онгоҳ барои адади натуралии дилхоҳи \(n > N\) нобаробариҳои (1) ва (2) иҷро мешаванд.

Бигзор \(N = [\frac{1}{\varepsilon}]\), онгоҳ

\(|x_n - 1| = |\frac{1}{n+1} - 1| < \varepsilon\),

ҳангоми \(n > N\).

Ба тарзи дигар, ҳудуди пайдарпаии додашуда ба 1 баробар аст.

1) Агар \(\varepsilon = 0,1\), онгоҳ

\(N = [\frac{1}{\varepsilon}] = [\frac{1}{0,1}] = 10 \)

Барои дилхоҳ адади \(n > 10\) мешавад, ки

\(|x_n - 1| < 0,1\).

2) Агар \(\varepsilon = 0,01\), онгоҳ

\(N = [\frac{1}{\varepsilon}] = [\frac{1}{0,01}] = 100 \)

Барои дилхоҳ адади \(n > 100\) мешавад, ки

\(|x_n - 1| < 0,01\).

3) Агар \(\varepsilon = 0,001\), онгоҳ

\(N = [\frac{1}{\varepsilon}] = [\frac{1}{0,001}] = 1000 \)

Барои дилхоҳ адади \(n > 1000\) мешавад, ки

\(|x_n - 1| < 0,001\).

4) Агар \(\varepsilon = 0,0001\), онгоҳ

\(N = [\frac{1}{\varepsilon}] = [\frac{1}{0,0001}] = 10000 \)

Барои дилхоҳ адади \(n > 10000\) мешавад, ки

\(|x_n - 1| < 0,0001\).

Ҷадвалро пур мекунем:

\(\varepsilon\) 0,1 0,01 0,001 0,0001
\(N\) 10 100 1000 10000