Чоп кардан
Бахш: Назарияи пайдарпаиҳо (ҳудуди пайдарпаӣ)
Миқдори намоиш: 619
Нравится

Масъалаи № 43. в) Исбот карда шавад, ки пайдарпаии \(x_n = \lg(\lg n)\) \((n \geq 2)\) ҳудуди беохир дорад ҳангоми \(n \rightarrow \infty\) (яъне беохир калон аст), тавассути барои дилхоҳ адади \(E > 0\) муайян кардани чунин адади \(N = N(E)\), ки \(|x_n| > E\) ҳангоми \(n > N\) будан.

Ҷадвали зерин пур карда шавад:

\(E\) 10 100 1000 10000
\(N\)        

Ҳал.

\(|x_n| = |\lg(\lg n)| = \lg(\lg n)\) при \(n \geq 10\).

Бигзор адади натуралии \(N\) чунин бошад, ки барои адади додашудаи \(E > 0\) нобаробарии зерин иҷро шавад:

\(\lg(\lg N) \geq E\).

\(10^{\lg(\lg N)} \geq 10^E\).

\(\lg N \geq 10^E\).

\(10^{\lg N} \geq 10^{(10^E)}\).

\(N \geq 10^{(10^E)}\).

Пас, агар \(N = \left[ 10^{(10^E)} \right]\) бошад, онгоҳ барои дилхоҳ адади натуралии \(n > N\) нобаробарии зерин иҷро шавад:

\(|x_n| = \lg(\lg n) > E\).

Ин чунин маъно дорад, ки пайдарпаии \(x_n = \lg(\lg n)\) \((n \geq 2)\) ҳудуди беохир дорад ҳангоми \(n \rightarrow \infty\) (яъне беохир калон аст).

1) Агар \(E = 10\) бошад, онгоҳ

\(N = \left[ 10^{(10^E)} \right] = 10^{(10^{10})}\).

Барои адади дилхоҳи \(n > 10^{(10^{10})}\)

\(|x_n| > 10\)

мешавад.

2) Агар \(E = 100\) бошад, онгоҳ

\(N = \left[ 10^{(10^E)} \right] = 10^{(10^{100})}\).

Барои адади дилхоҳи \(n > 10^{(10^{100})}\)

\(|x_n| > 100\)

мешавад.

3) Агар \(E = 1000\) бошад, онгоҳ

\(N = \left[ 10^{(10^E)} \right] = 10^{(10^{1000})}\).

Барои адади дилхоҳи \(n > 10^{(10^{1000})}\)

\(|x_n| > 1000\)

мешавад.

4) Агар \(E = 10000\) бошад, онгоҳ

\(N = \left[ 10^{(10^E)} \right] = 10^{(10^{10000})}\).

Барои адади дилхоҳи \(n > 10^{(10^{10000})}\)

\(|x_n| > 10000\)

мешавад.

Ҷадвалро пур мекунем:

\(E\) 10 100 1000 10000
\(N\) \(10^{(10^{10})}\) \(10^{(10^{100})}\) \(10^{(10^{1000})}\) \(10^{(10^{10000})}\)