Чоп кардан
Бахш: Назарияи пайдарпаиҳо (ҳудуди пайдарпаӣ)
Миқдори намоиш: 594
Нравится

Масъалаи № 44. Нишон дода шавад, ки пайдарпаии \(x_n = n^{(-1)^n}\) \((n = 1, 2, ...)\) маҳдуд нест, лекин беохир калон нест ҳангоми \(n \rightarrow \infty\).

Ҳал.

Бигзор адади \(n\) - чуфт бошад, яъне \(n = 2k\), ки дар ин ҷо \(k\) - адади натуралӣ аст. Пас,

\((-1)^n = (-1)^{2k} = 1\)

ва

\(x_n = n^{(-1)^n} = 2k\).

Бигзор адади \(n\) - тоқ бошад, яъне \(n = 2k+1\), ки дар ин ҷо \(k\) - адади натуралӣ аст. Пас,

\((-1)^n = (-1)^{2k+1} = -1\)

ва

\(x_n = n^{(-1)^n} = \frac{1}{2k+1}\).

Бигзор акнун \(E > 0\) - адади натуралии дилхоҳ калон бошад.

Барои адади натуралии \(N\), ки

\(N = N(E) = \left[\frac{E}{2}\right]\cdot 2 + 2\)

зерин иҷро мешавад:

\(x_N = N^{(-1)^N} = N > E\).

Яъне, пайдарпаии \(x_n\) \((n = 1, 2, ...)\) маҳдуд нест.

Аз тарафи дигар, аён аст, ки барои адади натуралии дилхоҳ калони \(n\) чунин адади тоқи \(k\) ёфт мешавад, ки \(k > n\) аст. Инчунин,

\(x_k = k^{(-1)^k} = \frac{1}{k} < 1\)

мешавад.

Пас, пайдарпаии \(x_n\) \((n = 1, 2, ...)\) маҳдуд нест, лекин беохир калон нест ҳангоми \(n \rightarrow \infty\).

Исбот шуд.