Чоп кардан
Бахш: Назарияи пайдарпаиҳо (ҳудуди пайдарпаӣ)
Миқдори намоиш: 840
Нравится

Масъалаи № 47. Бо назардошти он ки \(n\) қатори ададҳои натуралиро мегузарад, қимати ифодаи зерин муайян карда шавад:

\[\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\left(\sqrt{n+1} - \sqrt{n}\right).\]

Ҳал.

Ба инобат мегирем, ки

\((a - b)(a + b) = a^2 - b^2\), ки дар ин ҷо \(a,\, b\) - ададҳои дилхоҳ,

\(\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} = 0\).

Ҳудуди ҷусташаванда чунин аст:

\[\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\left(\sqrt{n+1} - \sqrt{n}\right) = \lim\limits_{n \rightarrow \infty}\frac{(\sqrt{n+1} - \sqrt{n})\cdot (\sqrt{n+1} + \sqrt{n})}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = \\ = \lim\limits_{n \rightarrow \infty}\frac{(\sqrt{n+1})^2 - (\sqrt{n})^2}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = \lim\limits_{n \rightarrow \infty}\frac{n+1 - n}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = \\ = \lim\limits_{n \rightarrow \infty}\frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = 0.\]