Чоп кардан
Бахш: Назарияи пайдарпаиҳо (ҳудуди пайдарпаӣ)
Миқдори намоиш: 538
Нравится

Масъалаи № 48. Бо назардошти он ки \(n\) қатори ададҳои натуралиро мегузарад, қимати ифодаи зерин муайян карда шавад:

\[\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\frac{\sqrt[3]{n^2}\sin n!}{n+1}.\]

Ҳал.

Ба инобат мегирем, ки

\(|\sin x| \leq 1\), ки дар ин ҷо \(x\) - адади дилхоҳ,

\(\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^a} = 0\), ки дар ин ҷо \(a > 0\).

\[\frac{\sqrt[3]{n^2}}{n+1} = \frac{n^{\frac{2}{3}}}{n+1} = \frac{n^{\frac{2}{3}}\cdot n^{-\frac{2}{3}}}{(n+1)\cdot n^{-\frac{2}{3}}} = \frac{1}{\sqrt[3]{n}+\frac{1}{\sqrt[3]{n^2}}}.\]

Ҳудуди ҷусташаванда чунин аст:

\[\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\frac{\sqrt[3]{n^2}\sin n!}{n+1} = \lim\limits_{n \rightarrow \infty}\frac{1}{\sqrt[3]{n}+\frac{1}{\sqrt[3]{n^2}}} = 0.\]