Чоп кардан
Бахш: Назарияи пайдарпаиҳо (ҳудуди пайдарпаӣ)
Миқдори намоиш: 752
Нравится

Масъалаи № 50. Бо назардошти он ки \(n\) қатори ададҳои натуралиро мегузарад, қимати ифодаи зерин муайян карда шавад:

\[\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\frac{1 + a + a^2 + ... + a^n}{1 + b + b^2 + ... + b^n} \quad (|a| < 1, \, |b| < 1).\]

Ҳал.

Формулаи суммаи \(n\) аъзои аввалаи прогрессияи геометрӣ:

\[S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1-q}\quad (q\neq 1).\]

Ин формуларо истифода бурда ҳосил мекунем:

\[1 + a + a^2 + ... + a^n = \frac{1\cdot (1 - a^n)}{1-a} = \frac{1 - a^n}{1-a}.\]

\[1 + b + b^2 + ... + b^n = \frac{1\cdot (1 - b^n)}{1-b} = \frac{1 - b^n}{1-b}.\]

Ба инобат мегирем, ки

\(\lim\limits_{n \rightarrow \infty} a^n = 0\), ки дар ин ҷо \(|a| < 1\),

\(x - 0 = x\), ки дар ин ҷо \(x\) - адади дилхоҳ.

Ҳудуди ҷусташаванда чунин аст:

\[\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\frac{1 + a + a^2 + ... + a^n}{1 + b + b^2 + ... + b^n} = \lim\limits_{n \rightarrow \infty}\frac{\frac{1 - a^n}{1-a}}{\frac{1 - b^n}{1-b}} = \\ = \lim\limits_{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1 - a^n}{1 - b^n}\cdot\frac{1-b}{1-a}\right) = 1\cdot\frac{1-b}{1-a} = \frac{1-b}{1-a}.\]