Чоп кардан
Бахш: Назарияи пайдарпаиҳо (ҳудуди пайдарпаӣ)
Миқдори намоиш: 590
Нравится

Масъалаи № 51. Бо назардошти он ки \(n\) қатори ададҳои натуралиро мегузарад, қимати ифодаи зерин муайян карда шавад:

\[\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + ... + \frac{n-1}{n^2} \right).\]

Ҳал.

Ба инобат мегирем, ки

\(1 + 2 + ... + k = \frac{k(k+1)}{2}\), ки дар ин ҷо \(k\) - адади натуралӣ,

\(\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\frac{1}{n} = 0\).

Ҳудуди ҷусташаванда чунин аст:

\[\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + ... + \frac{n-1}{n^2} \right) = \lim\limits_{n \rightarrow \infty}\frac{1 + 2 + ... + (n-1)}{n^2} = \\ = \lim\limits_{n \rightarrow \infty}\frac{(n-1)n}{2n^2} = \lim\limits_{n \rightarrow \infty}\frac{n^2-n}{2n^2} = \lim\limits_{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2n}\right) = \frac{1}{2} - 0 = \frac{1}{2}.\]

Ҷавоб. \(\frac{1}{2}\).