Чоп кардан
Бахш: Назарияи пайдарпаиҳо (ҳудуди пайдарпаӣ)
Миқдори намоиш: 508
Нравится

Масъалаи № 53. Бо назардошти он ки \(n\) қатори ададҳои натуралиро мегузарад, қимати ифодаи зерин муайян карда шавад:

\[\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\left[\frac{1^2}{n^3} + \frac{2^2}{n^3} + ... + \frac{(n-1)^2}{n^3}\right].\]

Ҳал.

Методи индуксияи математикиро истифода бурда, исбот кардан мумкин аст, ки барои дилхоҳ адади натуралии k баробарии зерин дуруст аст:

\[1^2+2^2+...+k^2=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}.\]

Пас,

\[\frac{1^2}{n^3} + \frac{2^2}{n^3} + ... + \frac{(n-1)^2}{n^3} = \frac{1^2+2^2+...+(n-1)^2}{n^3} = \\ = \frac{(n-1)\cdot n\cdot (2n-1)}{6n^3} = \frac{1}{6}\cdot \frac{n-1}{n}\cdot \frac{n}{n}\cdot \frac{2n-1}{n} = \\ = \frac{1}{6}\cdot \left(1 - \frac{1}{n}\right)\cdot \left(2 - \frac{1}{n}\right).\]

Ба инобат мегирем, ки

\(\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\frac{1}{n} = 0\).

Ҳудуди ҷусташаванда чунин аст:

\[\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\left[\frac{1^2}{n^3} + \frac{2^2}{n^3} + ... + \frac{(n-1)^2}{n^3}\right] = \\ = \lim\limits_{n \rightarrow \infty}\frac{1}{6}\cdot \left(1 - \frac{1}{n}\right)\cdot \left(2 - \frac{1}{n}\right) = \\ = \frac{1}{6}\cdot 1\cdot 2 = \frac{1}{3}.\]

Ҷавоб. \(\frac{1}{3}\).