Чоп кардан
Бахш: Назарияи пайдарпаиҳо (ҳудуди пайдарпаӣ)
Миқдори намоиш: 603
Нравится

Масъалаи № 54. Бо назардошти он ки \(n\) қатори ададҳои натуралиро мегузарад, қимати ифодаи зерин муайян карда шавад:

\[\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\left[\frac{1^2}{n^3} + \frac{3^2}{n^3} + ... + \frac{(2n-1)^2}{n^3}\right].\]

Ҳал.

Ифодаи дар масъалаи № 53 овардашударо бо \(f(n)\) ишора мекунем:

\[f(n) = \frac{1^2}{n^3} + \frac{2^2}{n^3} + ... + \frac{(n-1)^2}{n^3}.\]

Аз ин ҷо

\[8f(2n) = 8\cdot \left[\frac{1^2}{(2n)^3} + \frac{2^2}{(2n)^3} + ... + \frac{(2n-1)^2}{(2n)^3}\right] = \\ = 8\cdot \frac{1^2 + 2^2 + ... + (2n-1)^2}{8n^3} = \\ = \frac{1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + ... + (2n-2)^2 + (2n-1)^2}{n^3}.\]

\[4f(n) = 4\cdot \left[\frac{1^2}{n^3} + \frac{2^2}{n^3} + ... + \frac{(n-1)^2}{n^3}\right] = \\ = \frac{4\cdot(1^2 + 2^2 + ... + (n-1)^2)}{n^3} = \\ = \frac{2^2\cdot 1^2 + 2^2\cdot 2^2 + ... + 2^2\cdot (n-1)^2}{n^3} = \\ = \frac{2^2 + 4^2 + ... + (2n-2)^2}{n^3}.\]

Аз ин ҷо

\[8f(2n) - 4f(n) = \\ = \frac{1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + ... + (2n-2)^2 + (2n-1)^2}{n^3} - \\ - \frac{2^2 + 4^2 + ... + (2n-2)^2}{n^3} = \\ = \frac{1^2 + 3^2 + ... + (2n-1)^2}{n^3} = \frac{1^2}{n^3} + \frac{3^2}{n^3} + ... + \frac{(2n-1)^2}{n^3}.\]

Яъне,

\[\frac{1^2}{n^3} + \frac{3^2}{n^3} + ... + \frac{(2n-1)^2}{n^3} = 8f(2n) - 4f(n).\]

Ба инобат мегирем, ки

\[\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\left[\frac{1^2}{n^3} + \frac{2^2}{n^3} + ... + \frac{(n-1)^2}{n^3}\right] = \frac{1}{3}.\]

(нигаред ба масъалаи 53)

Ҳудуди ҷусташаванда чунин аст:

\[\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\left[\frac{1^2}{n^3} + \frac{3^2}{n^3} + ... + \frac{(2n-1)^2}{n^3}\right] = \\ = \lim\limits_{n \rightarrow \infty}\left[8f(2n) - 4f(n)\right] = 8\cdot\frac{1}{3} - 4\cdot\frac{1}{3} = \frac{4}{3}.\]

Ҷавоб. \(\frac{4}{3}\).