Ҷои №1 барои рекламаи шумо!

Барои робита: oftob.com@gmail.com

Масъалаи № 155. Соҳаи муайянӣ (ё ки соҳаи мавҷудият)-и функсияи зерин ёфта шавад:

\[y = \sqrt{\sin\left(\sqrt{x}\right)}.\]

Ҳал.

\(1^\circ\). Мафҳуми функсия. Тағйирёбандаи \(y\) функсияи якқиматаи \(f\) аз \(x\) дар соҳаи тағйирёбии \(X=\{x\}\) номида мешавад, агар ба ҳар як қимати \(x\in X\) як қимати муайяни ҳақиқии \(y = f(x)\), ки ба маҷмӯи \(Y=\{y\}\) тааллуқ дорад, мувофиқ гузошта шавад.

Маҷмӯи \(X\) соҳаи муайянӣ ё ки соҳаи мавҷудияти функсияи \(f(x)\) номида мешавад; Маҷмӯи \(Y\) маҷмӯи қиматҳои ин функсия номида мешавад.

Бо назардошти он ки ифодаи таҳти реша бояд, ки ғайриманфӣ бошад, нобаробарии зеринро ҳосил мекунем:

\[\sin\left(\sqrt{x}\right) \geq 0.\]

Функcияи \(y = \sin x\) қимати ғайриманфиро ҳангоми \(x\in \left[2k\pi,(2k+1)\pi\right]\) \((k = 0, 1, 2, ...)\) қабул мекунад.

Ҳамин тавр, барои он ки ифодаи таҳти реша ғайриманфӣ бошад, зарур аст, ки нобаробарии дучандаи зерин иҷро шавад:

\[2k\pi \leq \sqrt{x} \leq (2k+1)\pi\quad (k = 0, 1, 2, ...).\]

Аз ин ҷо,

\[4k^2\pi^2 \leq x \leq (2k+1)^2\pi^2\quad (k = 0, 1, 2, ...).\]

Пас, соҳаи муайянии функсияи додашуда фосилаҳои \([4k^2\pi^2, (2k+1)^2\pi^2]\, (k = 0, 1, 2, ...)\) мебошанд.

Ҷавоб. \(D(f) = [4k^2\pi^2, (2k+1)^2\pi^2]\, (k = 0, 1, 2, ...)\) ё \(D(f) = \{x\in\Bbb R\, :\, x \in[4k^2\pi^2, (2k+1)^2\pi^2]\, (k = 0, 1, 2, ...)\}\).