Чоп кардан
Бахш: Муодилаҳои физикаи математикӣ
Миқдори намоиш: 3790
Нравится

Муаллиф: Наимов А.Н., д.и.ф.м.

Системаи муодилаҳои дифференсиалии намуди зеринро дида мебароем:
\(\begin{equation}
(2.1)\qquad\left\{
  \begin{array}{l l l}
  \frac{\partial u_1}{\partial t}=\sum\limits_{k=1}^{N}\left(a_{11}^{(k)}\frac{\partial u_k}{\partial x_1} + ... + a_{1n}^{(k)}\frac{\partial u_k}{\partial x_n}\right) +b_{11}u_1+\cdots+b_{1N}u_N+c_1,\\
  ... ... ... ... ... ... ... ... ...\\
  \frac{\partial u_N}{\partial t}=\sum\limits_{k=1}^{N}\left(a_{N1}^{(k)}\frac{\partial u_k}{\partial x_1} + ... + a_{Nn}^{(k)}\frac{\partial u_k}{\partial x_n}\right) +b_{N1}u_1+\cdots+b_{NN}u_N+c_N,
  \end{array} \right.
\end{equation}\)
ки дар ин ҷо функсияҳои номаълуми \(u_1,...u_N\), коэффитсиентҳои \(a_{ij}^{(k)}, b_{ij}\) ва аъзоҳои озоди \(c_i\) аз тағйирёбандаҳои \(t, x_1, ..., x_n\) вобаста мебошанд. Хусусияти муҳимми системаи (2.1) дар он мебошад, ки нисбат ба ҳосилаҳои \(\frac{\partial u_1}{\partial t}, ..., \frac{\partial u_N}{\partial t}\) ҳалшуда мебошад. Ингуна системаи муодилаҳои дифференсиалиро ба маънои Ковалевская нормалӣ меноманд. Коэффитсиентҳои муодила ва аъзоҳои озод дар ягон соҳаи \(Q=(0;T)\times \Omega, \Omega\subset\mathbb{R}^n\) муайян мебошад.

Барои системаи (2.1) масъалаи Коши аз ёфтани функсияҳои \(u_1(t,x_1,...,x_n), ..., u_N(t,x_1,...,x_n)\) иборат мебошад, ки дар соҳаи \(Q\) ҳалли системаи (2.1) буда, барои ягон \(t_0\in (0,T)\) шартҳои аввалаи
\(\begin{equation}
(2.2)\qquad u_k(t_0,x_1,...,x_n)=\varphi_k(x_1,...,x_n), \quad k=\overline{1,N}
\end{equation}\)
-ро қонеъ кунонанд. Дар ин ҷо функсияҳои \(\varphi_k, k=\overline{1,N}\) маълум мебошанд.

Мо гузориши масъалаи Коширо барои системаи муодилаҳои дифференсиалӣ бо ҳосилаҳои хусусии тартиби якӯм овардем. Ба ҳамин монанд гузориши масъалаи Коширо барои системаи муодилаҳои дифференсиалии тартибашон олии шакли нормалӣ дошта овардан мумкин аст. Барои бо баёни ҳарчи мухтасар ба мақсад расидан, системаи муодилаҳои дифференсиалии тартиби якумро интихоб намудем. Ҳаргуна системаи муодилаҳои дифференсиалии тартиби олиро тавассути ҷорӣ намудани функсияҳои номаълуми нав ба системаи муодилаҳои дифференсиалии тартиби якӯм овардан мумкин аст.

Доири мавҷудият ва ягонагии ҳалли масъалаи Коши (2.1) - (2.2) теоремаи Ковалевская ҷой дорад.