Чоп кардан
Бахш: Муодилаҳои физикаи математикӣ
Миқдори намоиш: 3263
Нравится

Муаллиф: Наимов А.Н., д.и.ф.м.

Теоремаи Ковалевская. Бигзор ҳамаи функсияҳои \(a_{ij}^{(k)}, b_{ij}, c_i\) дар атрофи нуқтаи \((t_0, x_1^0,...x_n^0)\in Q\) ва функсияҳои \(\varphi_k\) дар атрофи нуқтаи \((x_1^0,...x_n^0)\in \Omega\) аналитикӣ бошанд. Он гоҳ ягона маҷмӯи функсияҳои дар атрофи нуқтаи \((t_0, x_1^0,...x_n^0)\) аналитикии \(u_1,...,u_N\) мавҷуд мебошад, ки ҳалли масъалаи (2.1) - (2.2) мешавад.

Функсияи \(F(y_1,...,y_n)\) дар атрофи нуқтаи \((y_1^0, ..., y_n^0)\) аналитикӣ номида мешавад, агар дар ягон атрофи ин нуқта функсияро дар намуди суммаи қатори дараҷагии наздикшаванда тасвир кардан мумкин бошад:
\(\begin{equation}
(2.3)\qquad F(y_1,...,y_n)=\sum\limits_{(k_1,...,k_n)}A_{k_1,...,k_n}\cdot(y_1-y_1^0)^{k_1}\cdot ... \cdot(y_n-y_n^0)^{k_n}.
\end{equation}\)
Дар ин ҳолат функсияи \(F\) дар нуқтаи \((y_1^0, ..., y_n^0)\) дорои ҳосилаҳои тартиби ихтиёрӣ буда,
\(\begin{equation}
(2.4)\qquad A_{k_1...k_n}=\frac{1}{k_1!...k_n!}\left(\frac{\partial^{k_1+...+k_n}F}{\partial y_1^{k_1}...\partial y_n^{k_n}}\right)_{y_i=y_i^0}, \quad i=\overline{1,n}
\end{equation}\)
аст. Байни функсияи \(F\) ва маҷмӯи коэффитсиентҳои қатори (2.3) муносибати байни ҳам якқимата ҷой дорад. Яъне аз рӯи коэффитсиентҳои қатор дар атрофи нуқтаи \((y_1^0,...,y_n^0)\) худи функсияи \(F\)-ро барқарор кардан мумкин аст.

Акнун ба исботи теорема шурӯъ мекунем. Минбаъд барои осонии кор

\[t_0=x_1^0=...=x_n^0,\quad \varphi_k(x_1,...,x_n)\equiv 0, \quad k=\overline{1,N}\]

ҳисобидан мумкин аст. Ин эътимоди исботи теоремаро камтар накарда, балки баҳри ҳарчи зудтар ба маънии исбот сарфаҳм рафтан кӯмак мекунад.