Чоп кардан
Бахш: Интеграли номуайян
Миқдори намоиш: 4917
Нравится

Интеграли номуайяни зерин ёфта шавад:
\(\int \ln xdx\)
Ҳал. Барои ҳал намудани ин интеграл аз формулаи интегронии қисм ба қисм истифода мебарем:
\(\int udv = uv-\int vdu\).
Одатан дар интегралҳои чунин намуд дошта логарифми зери интегралро бо \(u\) ишора мекунанд:
\(u=\ln x \Rightarrow du = (\ln x)'dx = \frac{1}{x}dx \Rightarrow du = \frac{1}{x}dx \).
Қисми боқимондаро бо \(dv\) ишора мекунем:
\(dv=dx \Rightarrow \int du=\int dx \Rightarrow v=x \).
Пас,
\(\int\! \ln xdx = x\cdot \ln x-\int x\frac{1}{x}dx = x\cdot \ln x-\int dx = \)
\(= x\cdot \ln x-x+C\), ки дар ин ҷо \(C - const\).
Санҷиш. Барои санҷидани дурустӣ аз ҳал ҳосиларо ҳисоб мекунем ва он бояд ба функсияи зери интеграл баробар шавад:
\((x\cdot \ln x-x+C)' = (x\cdot \ln x)'-(x)'+(C)' = \)
\(= (x)'\ln x + x(\ln x)'-1+0 = \)
\(= 1\cdot \ln x + x\cdot\frac{1}{x}-1 = \ln x+1-1 = \ln x \)
Ҳангоми ҳисоб намудани ҳосила аз формулаи \((uv)' = u'v + uv'\) истифода намудем. Ин тасодуфӣ нест. Ин формула ва формулаи қисм-ба-қисм интегронӣ ба ҳамдигар баръаск ҳастанд.