Чоп кардан
Бахш: Интеграли номуайян
Миқдори намоиш: 4976
Нравится

Интеграли номуайяни зерин ёфта шавад:
\[\int x^2(5 - x)^4 dx.\]

Ҳал.

Формулаи зарби мухтасари зеринро истифода бурда:

\[(a - b)^4 = a^4 - 4a^3b + 6a^2b^2 - 4ab^3 + b^4\]

барои ифодаи зери интеграл ҳосил менамоем, ки

\[(5 - x)^4 = 5^4  - 4\cdot 5^3 \cdot x + 6\cdot 5^2 \cdot x^2 - 4\cdot 5 \cdot x^3 + x^4 = 625 - 500x + 150x^2 - 20x^3 + x^4;\]

\[x^2(5 - x)^4 = 625x^2 - 500x^3 + 150x^4 - 20x^5 + x^6.\]

Пас,

\(\begin{multline}
\int x^2(5 - x)^4 dx = \int \left(625x^2 - 500x^3 + 150x^4 - 20x^5 + x^6\right) dx = \\
= \int 625x^2 dx - \int 500x^3 dx + \int 150x^4 dx - \int 20x^5 dx + \int x^6 dx = \\
= 625\int x^2 dx - 500\int x^3 dx + 150\int x^4 dx - 20\int x^5 dx + \int x^6 dx = \\
= 625\frac{x^3}{3} - 500\frac{x^4}{4} + 150\frac{x^5}{5} - 20\frac{x^6}{6} + \frac{x^7}{7} + C = \\
= \frac{625}{3}x^3 - 125x^4 + 30x^5 - \frac{10}{3}x^6 + \frac{1}{7}x^7 + C.
\end{multline}\)

Санҷиш. Барои санҷидани дурустӣ аз ҳал ҳосиларо ҳисоб мекунем ва он бояд ба функсияи зери интеграл баробар шавад:

\(\begin{multline}
\left(\frac{625}{3}x^3 - 125x^4 + 30x^5 - \frac{10}{3}x^6 + \frac{1}{7}x^7 + C\right)' = \\
= \frac{625}{3}\cdot 3 \cdot x^{3-1} - 125\cdot 4 \cdot x^{4-1} + 30\cdot 5 \cdot x^{5-1} - \frac{10}{3}\cdot 6 \cdot x^{6-1} + \frac{1}{7}\cdot 7 \cdot x^{7-1} + 0 = \\
= 625x^2 - 500x^3 + 150x^4 - 20x^5 + x^6 = x^2(5 - x)^4.
\end{multline}\)