Чоп кардан
Бахш: Гуногун
Миқдори намоиш: 3839
Нравится

Исбот кунед, ки адади \[5^n(5^n+1)-6^n(3^n+2^n)\], ҳангоми n - натуралӣ будан, ба 91 бе бақия тақсим мешавад

\[5^n(5^n+1)-6^n(3^n+2^n)=25^n+5^n-18^n-12^n\]

\[1)25^n+5^n-18^n-12^n=(7+18)^n+5^n-18^n-(7+5)^n\]

\[(7+x)^n=7^n+7^{n-1}\cdot x+...+x^{n-1}\cdot 7+x^n=7A+x^n\]

\[(7+18)^n+5^n-18^n-(7+5)^n=7A+18^n+5^n-18^n-7B-5^n=\]

\[=7A-7B\]

\[2)25^n+5^n-18^n-12^n=(13+12)^n+5^n-(13+5)^n-12^n\]

\[(13+x)^n=13^n+13^{n-1}\cdot x+...+x^{n-1}\cdot 13+x^n=13C+x^n\]

\[(13+12)^n+5^n-(13+5)^n-12^n=13C+12^n+5^n-13D-5^n-12^n=\]

\[=13C-13D\]

Ададҳои A, B, C, D - адаҳои бутун. Аз ин ҷо мебарояд,

ки адади 7A - 7B ба 7 бе бақия тақсим мешавад ва адади 13C - 13D ба 13 бе бақия тақсим мешавад.

Азбаски адади \[5^n(5^n+1)-6^n(3^n+2^n)\] ба 7 ва ба 13 бе бақия тақсим мешавад,

ин адад ба 91 ҳам бе бақия тақсим мешавад.

Исбот шуд.