Чоп кардан
Бахш: Гуногун
Миқдори намоиш: 3615
Нравится

Масъала. Исбот кунед, решаи квадратӣ аз 3 адади ирратсионалӣ аст.

Ҳал. Исботро аз баръакс мебарем. Фарз мекунем, ки \(\sqrt{3}\) адади ратсионалӣ аст, яъне дар намуди касри ихтисорнашавандаи \(\frac{m}{n}\) ифода меёбад, ки дар ин ҷо \(m\) ва \(n\) ададҳои бутун мебошанд.  Баробарии тасаввур кардаамонро ба квадрат мебардорем:
\(\sqrt{3} = \frac{m}{n} \Rightarrow 3 = \frac{m^2}{n^2} \Rightarrow m^2 = 3n^2.\)

Аз ин ҷо мебарояд, ки \(m^2\) ба 3 каратӣ аст, яъне \(m\) низ ба 3 каратӣ аст (агар адади бутуни \(m\) ба 3 каратӣ намебуд, он гоҳ \(m^2\) низ ба 3 каратӣ намебуд). Бигзор \(m=3r\), ки дар ин ҷо \(r\) - адади бутун аст. Он гоҳ
\((3r)^2=3n^2 \Rightarrow 9r^2=3n^2 \Rightarrow n^2=3r^2\)

Бинобар ин, \(n^2\) ба 3 каратӣ аст, пас \(n\) низ ба 3 каратӣ аст. Ҳосил намудем, ки \(m\) ва \(n\) ба 3 каратӣ мебошанд, ки ин ба ихтисорнашаванда набудани касри \(\frac{m}{n}\) зид аст.

Ҳамин тавр, фарзи ибтидоӣ нодуруст будааст.

Пас, \(\sqrt{3}\) адади ирратсионалӣ аст.